向量值函数的定义与求导 — AP 微积分 BC

1. 向量值函数的定义与定义域 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

向量值函数输入单个标量（几乎总是$t$，在运动问题中通常代表时间），输出多维向量。在AP微积分BC中，你几乎只会遇到二维向量值函数，三维向量值函数遵循完全相同的法则。

Exam tip: 求向量值函数的定义域时，务必逐个检查每个分量。如果你只检查一个分量，很容易遗漏常见的隐含限制（分母、平方根、对数）。

2. 向量值函数的逐分量求导 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

向量值函数的导数与标量函数具有相同的极限定义：

\vec{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}

由于向量运算是逐分量进行的，这个极限可以简化为一个简单法则：使用你已经掌握的所有单变量求导法则，分别对每个分量函数求导。对于$\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$，导数为：

\vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle

直观来看，$\vec{r}'(t)$是$\vec{r}(t)$描绘的曲线在参数$t$处的切向量，指向$t$增大时曲线的运动方向。

Exam tip: 务必对每个分量分别求导，不要将整个向量当作单个标量表达式处理。如果你忘记求导是逐分量进行的，在处理含有乘积或复合函数的分量时几乎肯定会出错。

3. 由位置向量求速度、加速度和速率 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

当$\vec{r}(t)$是平面运动物体在时刻$t$的位置向量时，它的一阶和二阶导数具有标准的物理意义，这是AP考试的高频考点：

\begin{aligned} \text{Position: } \vec{r}(t) &= \langle x(t), y(t) \rangle \\ \text{Velocity: } \vec{v}(t) &= \vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle \\ \text{Acceleration: } \vec{a}(t) &= \vec{r}''(t) = \langle x''(t), y''(t) \rangle \end{aligned}

速度是描述运动方向和运动速率的向量。速率是速度向量的标量大小（长度），计算公式为：

\text{speed} = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}

Exam tip: 当题目要求求速率时，记住它是标量大小，不是向量。如果你在自由作答题中给出速度向量而非其模长，会被扣分。务必检查题目措辞，区分"速度"和"速率"。

4. 复合向量值函数的链式法则 ★★★★☆ ⏱ 3 min

如果$\vec{r}$是$u$的函数，而$u$本身是$t$的函数，我们就得到复合向量值函数$\vec{r}(u(t))$。这种复合函数的链式法则与标量函数结构相同，仍然逐分量运算：

\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{du} \cdot \frac{du}{dt}

对于$\vec{r}(u) = \langle x(u), y(u) \rangle$，展开后为：

\frac{d\vec{r}}{dt} = \langle x'(u(t)) \cdot u'(t), y'(u(t)) \cdot u'(t) \rangle

该法则常用于路径参数是时间函数的运动问题，或者对曲线重新参数化的场景。

Exam tip: 处理复合向量值函数时，不要忘记乘以内函数的导数。你很容易因为专注于记住逐分量求导而遗漏$\frac{du}{dt}$项。

5. 概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 1 min