截面法求体积：正方形与矩形 — AP 微积分 BC
1. 垂直于x轴的截面 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
这是AP考试中最常见的情况。立体的底面位于$xy$-平面内，由曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$围成（在$[a,b]$上满足$f(x) \geq g(x)$）。我们用垂直于x轴的竖直平面对立体切片，每片的厚度为$dx$，横截面积为$A(x)$，因此总体积就是$A(x)$在底面区间上的积分。
2. 垂直于y轴的截面 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
当截面垂直于y轴时，切片是水平而非竖直的，因此我们对$y$积分。底面由$x=f(y)$和$x=g(y)$围成（在$[c,d]$上满足$f(y) \geq g(y)$），边长就是两条曲线之间的水平距离。如果原曲线给出的形式是$y=f(x)$，你必须先反解得到x关于y的函数。
3. 特殊题型变式 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
考试中常见的两种变式会改变你根据底面边长计算横截面积的方式：
- **对角线在底面内的正方形**: 如果底面曲线之间的距离等于正方形的对角线$d$，利用关系$d = s\sqrt{2}$，可得面积$A = \frac{d^2}{2}$。
- **矩形截面**: 如果底面边长为$s$，高度与$s$成比例（常数$k$满足$h = ks$），则面积$A = s \times ks = ks^2$。如果高度是常数$h$，则面积$A = sh$。
4. AP风格例题练习 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 你没有仔细读题，默认使用常见的边在底面内的情况计算
Why: 你忘记积分变量必须和截面方向匹配，跳过了反解函数的步骤
Why: 你习惯性地按'上减下'计算，没有确认哪个曲线在区间上更大
Why: 你忘记矩形面积是底×高，跳过了相乘步骤
Why: 你在积分前的代数展开步骤太匆忙