通过积分求位置、速度与加速度 — AP 微积分 BC
1. 核心定义与关系 ★☆☆☆☆ ⏱ 2 min
本主题将积分应用于反转微分微积分中学到的运动物理量之间的导数关系，针对AP考试常考的直线（直线路径）运动场景。
当已知加速度或速度，要求求速度或位置时，积分是必备工具。你需要掌握的核心技能是区分区间上的净位移（位置的净变化量）和总路程（总路径长度）。根据AP微积分课程和考试描述（CED），积分的应用占BC考试的10-15%，本子主题约占总分的2-4%，会在选择题和自由问答题部分都出现。
2. 结合初始条件求速度与位置 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
由于加速度是速度的变化率，速度是位置的变化率，我们通过积分反转这些关系：
v(t) = \int a(t) \, dt + C \\ s(t) = \int v(t) \, dt + C
我们也可以将其写成定积分形式来避免携带未知常数，其中 $\tau$ 是积分哑变量：
v(t) = v(0) + \int_0^t a(\tau) d\tau \\ s(t) = s(0) + \int_0^t v(\tau) d\tau
积分常数 $C$ 通过初始条件求解：初始条件指给定起始时刻的速度或位置的已知值。直观理解：积分累加了加速度随时间的所有微小变化得到速度的总变化量，再加上初始速度就得到当前速度，由速度求位置的逻辑完全相同。
Exam tip: 每次积分后立刻求解积分常数，不要等到最后再求解多个常数。这可以避免在多步计算中携带未知量导致的计算错误。
3. 计算时间区间内的净位移 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
净位移是粒子在两个时刻 $t=a$ 和 $t=b$ 之间位置的净变化量，即 $\Delta s = s(b) - s(a)$。根据微积分基本定理第二部分，由于 $s(t)$ 是 $v(t)$ 的原函数，我们得到：
\Delta s = s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt
位移是净量：正速度（向正方向运动）使位移增加，负速度（向负方向运动）使位移减少。位移可以为正、负或零，取决于粒子相对于起点的最终位置。计算位移不需要初始条件，因为计算定积分时积分常数会抵消。
Exam tip: 如果题目只要求位移，你不需要求解位置函数或积分常数，直接计算速度的定积分即可。
4. 计算时间区间内的总路程 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
总路程是粒子在 $[a,b]$ 上走过的路径总长度，和运动方向无关。和位移不同，总路程永远非负。任何运动（前进或后退）都会使总路程增加，因此积分前我们需要将负速度转为正。总路程的公式为：
D = \int_a^b |v(t)| \, dt
- 找出所有区间 $(a,b)$ 内满足 $v(t) = 0$ 的时刻（这些就是转向点，粒子在此处改变方向）。
- 将原区间拆分为多个子区间，每个子区间内 $v(t)$ 恒正或恒负。
- 在 $v(t) < 0$ 的子区间上，将 $|v(t)|$ 替换为 $-v(t)$ 使其为正；在 $v(t) > 0$ 的区间上保持 $v(t)$ 不变。
- 分别计算每个子区间的积分，再将结果相加。
Exam tip: 如果速度在区间内恒不为零，说明粒子不会改变方向，因此总路程等于位移。拆分区间前一定要确认区间内是否存在转向点。
Common Pitfalls
Why: 学生容易混淆位移和总路程的定义，在赶时间做FRQ时尤其容易出错。
Why: 你记得拆分区间，但赶时间时忘记改符号，导致总路程计算结果偏小。
Why: 你习惯了求位置函数，因此多做了不必要的步骤，反而引入计算错误。
Why: 题目给出加速度，你忘记了关系链，跳过了一步。
Why: 多步积分时赶进度，会混淆哪个初始条件对应哪次积分。