绕其他轴的圆盘法 — AP 微积分 BC
1. 绕平移后的水平轴旋转 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
水平旋转轴的形式总是$y = k$，其中$k$是常数。对于圆盘法，切片需要垂直于旋转轴，因此我们使用竖直切片并对$x$积分。和基础圆盘法相比，唯一需要调整的就是正确计算半径：半径是函数$y = f(x)$和旋转轴$y = k$之间的距离。
V = \pi \int_a^b \left[ f(x) - k \right]^2 dx
由于距离总是正的，且任意实数平方后都是非负的，因此平方后不需要保留绝对值符号。平移旋转轴只会改变半径，不会改变积分限和积分变量。
2. 绕平移后的竖直轴旋转 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
竖直旋转轴的形式是$x = h$，其中$h$是常数。对于圆盘法，切片必须垂直于竖直轴，因此我们使用水平切片并对$y$积分。这要求我们先把所有形如$y = f(x)$的函数改写为$x = g(y)$的形式。
V = \pi \int_c^d \left[ g(y) - h \right]^2 dy
半径计算的核心逻辑和绕平移后水平轴旋转完全相同：半径就是函数$x = g(y)$和旋转轴$x = h$之间的距离。
3. 区域在旋转轴另一侧时的半径调整 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中一种常见的变体题型是整个区域都位于水平轴下方或竖直轴左侧。半径计算的核心规则不变：半径始终是区域边界和旋转轴之间的正距离。
- 整个区域在水平轴$y=k$下方：$r = k - f(x)$
- 整个区域在水平轴$y=k$上方：$r = f(x) - k$
- 整个区域在竖直轴$x=h$左侧：$r = h - g(y)$
- 整个区域在竖直轴$x=h$右侧：$r = g(y) - h$
注意$(f(x) - k)^2 = (k - f(x))^2$，因此平方后无论减法顺序如何得到的体积都相同，但使用正半径在检查时更容易发现公式建立错误。
4. AP风格概念检测 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生因为大多数函数写成$y=f(x)$的形式，默认就对$x$积分，忘记圆盘法要求切片垂直于旋转轴。
Why: 学生记住了绕x轴的基础公式，忘记当轴平移时需要调整半径。
Why: 学生不管旋转体是否空心，只要是绕非标准轴旋转就用圆盘法。
Why: 学生总期望函数值大于轴的常数，当情况相反时就会困惑。
Why: 学生记得半径是正的，所以出于谨慎保留了绝对值。