分部积分法（仅BC） — AP 微积分 BC
1. 分部积分核心公式 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
分部积分法是微分乘积法则的逆运算，用于积分仅用换元法无法求解的不同类型函数的乘积。它将复杂的原积分拆分为一个更简单的乘积项和一个更容易计算的新积分。
Exam tip: 当积分单个函数（如$\ln x$或$\arctan x$，不是显式乘积）时，将其改写为$f(x) \cdot 1 dx$，设$u = f(x)$，$dv = 1 dx$，即可转化为标准问题求解。
2. 重复与循环分部积分 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
大多数涉及高次多项式，或指数函数与三角函数乘积的积分，都需要多次应用分部积分。对于n次多项式$u$，每次应用都会使$u$的次数降低1，因此需要应用n次才能将$u$化简为常数。
BC专属的一种特殊情况是循环分部积分，它出现在积分$e^{ax} \sin(bx)$或$e^{ax} \cos(bx)$这类形式的乘积时。两次应用后，原积分会重新出现在等式右侧，你可以通过代数方法求解原积分。这是AP考试中非常常见的题型。
Exam tip: 积分常数$+C$只能在你将原积分$I$分离到左侧后再添加。过早添加$C$会导致最终结果中的常数倍数错误。
3. 表格积分法（DI法） ★★★☆☆ ⏱ 3 min
表格积分法是重复分部积分的省时捷径，仅适用于其中一个函数（u项）经过有限次求导后变为零的情况，这种情况几乎都是任意次数的多项式。该方法将计算整理为两列：$D$列（反复对u求导）和$I$列（反复对dv积分）。当D列变为零时停止，然后将交替符号的对角乘积相加得到原函数。
Exam tip: 绝对不要对$e^x \sin x$这类循环情况使用表格积分法。你永远得不到零导数，因此该方法不适用，会导致错误结果。
4. AP风格练习题 ★★★★☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了LIATE顺序，需要对$\ln x$积分得到v，这会不必要地复杂化问题
Why: 学生忘记原积分重新出现，必须通过代数方法求解
Why: 学生专注于对$\int v du$项积分，完全忘记了边界项
Why: 学生混淆了核心公式中$- \int v du$项的符号变化
Why: 学生错误地认为分部积分仅适用于显式乘积