带初始条件的特解 — AP 微积分 BC
1. 不定积分的特解 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
当给定导数$ rac{dy}{dx} = f(x)$（仅为$x$的函数）时，不定积分会得到一般反导数$F(x) + C$，其中$C$是任意常数。初始条件$y(x_0) = y_0$让你代入已知值求解$C$，对于适定的初值问题，最终会得到恰好一个唯一特解。
2. 可分离微分方程的特解 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
AP考试中的大多数一阶微分方程都是可分离变量的，也就是说它们可以改写为$g(y) dy = f(x) dx$的形式。两边积分后，将两边的常数合并为一个任意常数$C$得到通解，再代入初始条件求解$C$，即可得到唯一特解。
3. 验证候选特解 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
AP考试经常要求你确认给定函数是否是初值问题的正确特解，需要进行两次独立检查：(1) 函数必须满足初始条件，(2) 函数必须满足原微分方程。在选择题中，先检查初始条件可以快速排除错误选项。
4. AP风格练习题 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生习惯了求反导数时只在右侧加$+C$，忘记两边积分都会产生常数。
Why: 即使代入了已知正负的初始值，学生仍保留通解的歧义性。
Why: 学生急于使用初始条件，完全跳过了求通解的步骤。
Why: 学生出于习惯提前去掉绝对值，再利用初始条件确定$C$的符号。
Why: 过早对$C$取近似会累积误差，导致最终答案超出可接受的误差范围。