用微分方程对实际场景建模 — AP 微积分 BC
1. 核心技能：将文字描述的变化率转化为方程 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
将场景转化为微分方程的核心思想是：任何关于量如何变化的描述，都可以写成$\frac{dy}{dt}$（或根据题目选择合适的变量）等于该量的净变化率。一条关键经验法则：如果题目说$y$的变化率与某个量成正比，你需要在方程右侧加上比例常数$k$。
- 标出所有未知函数及其自变量
- 写出目标未知函数的导数
- 处理比例关系时，添加比例常数
- 合并所有增加速率和减少速率，得到最终的净变化率，放在方程右侧
Exam tip: 在自由问答题中，一定要明确写出微分方程的比例常数；AP阅卷老师要求你必须包含这个常数，即使你不需要计算它的值，才能拿到全部建模步骤分。
2. 常见标准场景模型 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
AP考试经常考查一组标准场景模型，你需要能快速识别，不过你始终应该能从题目描述推导出它们，而不是完全依赖记忆。最常见的标准模型有：
- **指数增长/衰减**：如果一个量的变化率与该量的大小成正比，$\frac{dy}{dt} = ky$，增长时$k>0$，衰减时$k<0$。
- **牛顿冷却/加热定律**：物体温度的变化率与物体温度$T(t)$和恒定环境温度$T_s$的差成正比，所以$\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$。
- **逻辑斯蒂种群增长**：对于环境容纳量为$K$的种群，增长速率与种群大小和剩余容纳量都成正比：$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$，其中$r>0$。
- **直线运动**：加速度是速度的变化率，因此直线运动中$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$。
Exam tip: 始终验证$\frac{dP}{dt}$的符号是否符合你对场景的预期：对于逻辑斯蒂增长，当种群大小在0和容纳量之间时，$\frac{dP}{dt}$必须为正。
3. 流入流出系统的净变化率模型 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
许多AP考题会对混合问题、银行账户或污染系统建模，这些场景中一个量会以不同速率被加入和移除。所有这类问题的核心法则是：
\frac{dQ}{dt} = (\text{rate of } Q \text{ entering the system}) - (\text{rate of } Q \text{ leaving the system})
对于混合问题（最常见的流入流出问题），溶质的流入速率等于流入浓度乘以流入流量。溶质的流出速率等于充分混合系统中当前溶质浓度乘以流出流量。当前浓度为$\frac{Q(t)}{V(t)}$，其中$V(t)$是时间$t$时的总体积。如果流入流出速率相等，$V(t)$是常数；如果不相等，$V(t) = V_0 + (r_{in} - r_{out})t$，其中$V_0$是初始体积。
Exam tip: 混合问题中一定要先计算$V(t)$；除非题目说明水箱始终是满的，否则不要假设体积等于水箱最大容量。
4. AP风格概念检测 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生死记硬背牛顿冷却定律的特定符号约定，把任何其他形式都标为错误，或是混淆了需要的符号
Why: 学生认为'成正比'只是场景描述，忘记成正比意味着要乘以一个未知常数
Why: 学生默认水箱一开始就是满的，即使题目说明并非如此
Why: 学生交换了项的顺序，导致当$P < K$时增长率为负
Why: 学生混淆了位置、速度和加速度对应的导数