微分方程的指数模型 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · 第7单元：微分方程 · 14 min read
1. 核心指数增长与衰减模型 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
指数模型描述变化率与当前量大小成正比的物理量。它们是AP微积分BC考试中最常考察的微分方程模型，同时出现在选择题和自由回答题中。核心关系是：$y(t)$ 对时间 $t$ 的变化率与 $y$ 的当前值成正比。
Exam tip: 在使用计算器计算前，先利用对数指数法则化简 $e^{kt}$；这可以避免舍入误差，且通常能得到精确整数结果，这正是AP考试题目几乎 always 期望的。
2. 半衰期与倍增时间 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
半衰期（衰减）和倍增时间（增长）是指数模型的常见特殊情况。这类问题不会给出第二个点来求解 $k$，而是直接给出物理量减半或翻倍所需的时间。如果你在考场上忘记了公式，它们可以快速推导出来，但记住公式可以节省时间。
- 半衰期（衰减）：$k = -\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$，其中 $T_{1/2}$ 是物理量减半所需的时间
- 倍增时间（增长）：$k = \frac{\ln 2}{T_2}$，其中 $T_2$ 是物理量翻倍所需的时间
Exam tip: 在任何衰减问题中求解出 $k$ 后，都要确认 $k$ 是负数；如果你得到了正的 $k$，说明你在处理 $\ln(1/2)$ 时漏掉了负号，需要在继续计算前修正错误。
3. 牛顿冷却定律 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
牛顿冷却定律是一种修正后的指数模型，描述物体温度相对于环境恒定温度（称为环境温度）的变化。与基本指数模型（变化率与当前量成正比）不同，这里物体温度的变化率与物体温度和环境温度的差成正比。
通过分离变量法求解可得通解，其中 $T_0$ 是物体在 $t=0$ 时的初始温度：
T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}
Exam tip: 永远不要忘记平移项 $T_s$；一个常见错误是使用基本指数解 $T(t) = T_0 e^{kt}$，这会错误预测物体温度会趋近于0，而非环境温度。
4. AP风格练习例题 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了比例常数的符号约定。
Why: 学生忘记 $\ln(1/2) = -\ln 2$，漏掉了负号。
Why: 学生急于计算 $k$ 的小数值，而没有用对数法则化简。
Why: 学生在分离变量步骤太仓促。
Why: 学生将离散年度增长与连续增长混淆。
Quick Reference Cheatsheet