使用欧拉法近似求解（仅BC） — AP 微积分 BC
1. 什么是欧拉法？ ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
欧拉法是一种数值迭代技术，用于对形如$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$，$y(x_0) = y_0$的一阶初值问题（IVP）近似求解未知解$y(x)$的值。与分离变量法等能给出精确闭式解的解析方法不同，即使在难以找到精确解的情况下，欧拉法仍然适用。
它仅在AP微积分BC考试中考查，约占总分的2-3%，会出现在选择题和自由问答题中，常与斜率场、人口增长等其他微分方程考点结合考查。其核心思路是在每个已知点使用切线近似，迭代步进至下一个x值。
2. 欧拉法的递归公式 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
欧拉法的核心是将从初始x值$x_0$到目标x值$x_t$的区间分成$n$个等距步，每个步的宽度为$h$（称为步长）。步长公式为：
h = \frac{x_t - x_0}{n}
从已知初始点$(x_0, y_0)$出发，我们使用步起点处微分方程给出的斜率来近似步终点的y值。通用递归公式为：
x_k = x_0 + k \cdot h
y_k = y_{k-1} + h \cdot f(x_{k-1}, y_{k-1})
Exam tip: 开始计算前一定要先写下所需的步数。少算一步是极其常见的错误，尤其是当步长为分数、目标x为整数时。
3. 判断高估与低估 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
计算出近似值后，AP考题经常会问该值比精确值高还是低。这取决于解在整个区间上的凹性，因为每一步都使用步起点的切线来近似整个区间：
- 如果$y'' > 0$（凹向上），切线位于解曲线下方，因此近似值是**低估**
- 如果$y'' < 0$（凹向下），切线位于解曲线上方，因此近似值是**高估**
要确定$y''$的符号，先对原微分方程做隐函数求导，再代入$y' = f(x,y)$得到用$x$和$y$表示的$y''$，然后再判断符号。
Exam tip: 只有当$y''$在整个区间内符号不变时，才能得出高估或低估的结论。如果凹性发生变化，你无法对最终近似值做出一般性判断。
4. 步长与误差特性 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
欧拉法是一阶数值方法，意味着总全局误差近似与步长$h$成正比，即$E = k \cdot h$，其中$k$对于给定的初值问题和目标点是常数。步长越小，近似精度越高，AP考试中任何题目都不会需要超过3-4步的计算。
Common Pitfalls
Why: 学生忘记初始点是第0步，不是第1步，因此会数错所需步数。
Why: 学生混淆了递归顺序；计算这一步时$y_k$还是未知的。
Why: 学生混淆了切线相对于解曲线的位置。
Why: 学生将欧拉法的一阶误差与未考查的高阶方法的二阶误差混淆。
Why: 当给定固定步数$n$时，学生记错公式。
Why: 学生隐函数求导后就停止了，忘记代入原微分方程。