长除法与配方法积分 — AP 微积分 BC
1. 利用多项式长除法积分假有理函数 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
有理函数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 当 $\deg(P(x)) \geq \deg(Q(x))$ 时为假有理函数，无法直接用标准模板积分。多项式长除法可将假被积函数改写为：
\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}
其中 $S(x)$ 是商多项式，$R(x)$ 是余式多项式，满足 $\deg(R(x)) < \deg(Q(x))$。这类似于将假分数 $\frac{15}{4}$ 改写为 $3 + \frac{3}{4}$：我们分离出整多项式部分和真有理余式，之后就可以用其他技巧积分。整个表达式逐项积分：$S(x)$ 用幂法则，$\frac{R(x)}{Q(x)}$ 用其他方法处理。
Exam tip: 开始积分前一定要检查分子和分母的次数。如果 $\deg(P) \geq \deg(Q)$，必须先做长除法——跳过这一步一定会得到错误结果。
2. 不可约二次分母的配方法 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
完成长除法后（或者从真有理函数开始），你可能会遇到不可约二次分母 $ax^2 + bx + c$，其判别式 $b^2 - 4ac < 0$，因此无法分解为实系数一次因式。配方法可以将二次式改写为匹配两种标准反三角函数积分模板的形式。
对 $ax^2 + bx + c$ 配方的步骤：1. 将首项系数 $a$ 从前两项中提出。2. 在括号内加上再减去 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$，得到完全平方，最终结果为 $a u^2 + k$ 其中 $u = x + \frac{b}{2a}$。这就匹配了代入标准模板所需的形式：
\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + C
Exam tip: 如果二次式首项系数不是1，配方前一定要先提出首项系数。忘记这一步会得到错误的常数项，无法匹配标准反三角函数形式。
3. 积分分子为一次、分母为不可约二次式的函数 ★★★★☆ ⏱ 4 min
AP考试中一种常见的被积函数是 $\frac{mx + n}{ax^2 + bx + c}$，其中分母不可约。你不能直接应用反三角函数积分法则；相反，需要将分子拆分为分母导数的倍数加上一个常数。方法如下：
- 令 $D(x) = ax^2 + bx + c$，计算 $D'(x) = 2ax + b$
- 将 $mx + n$ 写为 $A(2ax + b) + B$，通过比较系数求解常数 $A$ 和 $B$
- 将被积函数拆分为两项：$\frac{A D'(x)}{D(x)} + \frac{B}{D(x)}$
- 第一项用对数法则积分，第二项通过配方和反三角法则积分
第一项总是形如 $\frac{f'(x)}{f(x)}$，积分结果为 $\ln|f(x)|$。由于不可约二次式恒正，你可以省略绝对值符号简化结果。
Exam tip: 对数项中不可约二次式的绝对值可以省略，因为二次式恒正且永远不与x轴相交，可以简化最终答案。
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生专注于完成长除法计算，遗漏了大多数问题中都存在的非零余式。
Why: 学生认为只有当分子次数严格高于分母次数时才需要长除法，相等时不需要。
Why: 学生忘记配方前先从x项中提出首项系数2。
Why: 学生看到二次分母就立即配方，忘记一次分子会产生对数项。
Why: 学生忘记 $u = 2x + 3$ 代入步骤，需要考虑链式法则带来的因子2，因为 $du = 2 dx$。