部分分式积分法（仅BC要求）

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Integration and Accumulation of Change· 14 分钟阅读

1. 真有理函数与假有理函数及长除法★★☆☆☆BC 专属⏱ 3 min

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部分分式分解只能直接应用于真有理函数。如果函数是假有理函数（ $de g (P) \geq de g (Q)$ ），你必须先用多项式长除法将其改写为一个多项式加上一个新的真有理函数的和。在AP微积分BC考试中，分母只会出现一次因式（互异或重复），不可约二次因式不考。

📐 例题

将 $\frac{2 x ^{3} + x ^{2} - 5 x + 2}{x ^{2} - 2 x + 1}$ 改写为多项式与真有理函数的和。

1
检查次数： $de g (分子) = 3$ ， $de g (分母) = 2$ ，因此 $3 \geq 2$ ：该函数是假有理函数，需要做长除法。
2
用 $2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ 除以 $x^{2} - 2 x + 1$ 。商的第一项是 $2 x$ ；将除数乘以 $2 x$ 后相减，得到 $5 x^{2} - 7 x + 2$ 。
3
商的下一项是 $+ 5$ ；将除数乘以 $5$ 后相减，得到余式 $3 x - 3$ ，其余式次数为 $1 < 2$ ，因此停止计算。
4
改写原函数：
5
$\frac{2x^3 + x^2 - 5x + 2}{x^2 - 2x + 1} = 2x + 5 + \frac{3x - 3}{(x-1)^2} = 2x + 5 + \frac{3}{x-1}$

2. 含互异一次因式的部分分式★★★☆☆BC 专属⏱ 4 min

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考试中最常见的情况是分母可分解为互异（不重复）一次因式。这种情况的分解遵循以下规则：

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要求解常数，将两边乘以 $Q (x)$ 消去分母。最快的方法是根代入法：将每个一次因式的根代入得到的方程，直接解出 $A_{i}$ ，因为所有其他项都会变为零。得到所有常数后逐项积分即可。

📐 例题

计算 $\int \frac{5 x + 7}{x ^{2} + 3 x + 2} d x$ 。

1
检查次数： $de g (分子) = 1 < 2$ ，因此该函数是真有理函数。分解分母： $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ ，是互异一次因式。
2
建立分解式并消去分母：
3
$\frac{5x+7}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \implies 5x + 7 = A(x+2) + B(x+1)$
4
用根代入法求解常数：代入 $x = - 1$ 得 $5 (- 1) + 7 = A (1) ⟹ A = 2$ 。代入 $x = - 2$ 得 $5 (- 2) + 7 = B (- 1) ⟹ B = 3$ 。
5
逐项积分：
6
$\int \left(\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x+2}\right) dx = 2\ln|x+1| + 3\ln|x+2| + C = \ln\left|(x+1)^2(x+2)^3\right| + C$

3. 含重复一次因式的部分分式★★★★☆BC 专属⏱ 4 min

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如果分母中一个一次因式重复 $k$ 次（即 $(a x + b)^{k}$ ， $k \geq 2$ ），你必须对该因式从1次到 $k$ 次的每一次幂都添加单独的一项。例如，若分母为 $x (x - 1)^{2}$ ，分解式为 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{( x - 1 ) ^{2}}$ 。

积分时，一次幂的项积分后仍为对数，而 $k \geq 2$ 次幂的项用幂函数积分法则： $\int (a x + b)^{- k} d x = \frac{( a x + b ) ^{1 - k}}{a ( 1 - k )} + C$ 。

📐 例题

计算 $\int \frac{3 x ^{2} + 2 x - 2}{x ( x - 1 ) ^{2}} d x$ 。

1
检查次数： $de g (分子) = 2 < 3$ ，因此该函数是真有理函数。分母有一个互异因式 $x$ 和一个重复因式 $(x - 1)^{2}$ 。
2
建立分解式并消去分母：
3
$\frac{3x^2 + 2x - 2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$
4
$3x^2 + 2x - 2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$
5
求解常数：代入 $x = 0$ 得 $- 2 = A (1) ⟹ A = - 2$ 。代入 $x = 1$ 得 $3 (1)^{2} + 2 (1) - 2 = C (1) ⟹ C = 3$ 。比较 $x^{2}$ 的系数得 $A + B = 3 ⟹ B = 5$ 。
6
逐项积分：
7
$\int \left(\frac{-2}{x} + \frac{5}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2}\right) dx = -2\ln|x| + 5\ln|x-1| - \frac{3}{x-1} + C$

4. AP风格例题练习★★★★☆BC 专属⏱ 3 min

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📐 例题

计算 $\int_{3}^{4} \frac{2 x}{x ^{2} - 3 x + 2} d x$ 。哪个选项等于计算结果？

1
被积函数是真有理函数，分母分解为 $(x - 1) (x - 2)$ ，互异一次因式。消去分母得： $2 x = A (x - 2) + B (x - 1)$ 。
2
求解常数： $x = 1$ 得 $A = - 2$ ， $x = 2$ 得 $B = 4$ 。原函数为 $- 2 ln ∣ x - 1∣ + 4 ln ∣ x - 2∣ + C$ 。
3
代入上下限3到4计算： $(- 2 ln 3 + 4 ln 2) - (- 2 ln 2 + 4 ln 1) = 4 ln 2 - 2 ln 3$ 。正确答案是B。

📐 例题

已知 $x > 0$ 时 $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + 2}{x ( x + 1 ) ^{2}}$ 。(a) 求部分分式分解；(b) 求 $\int f (x) d x$ ；(c) 若 $g^{'} (x) = f (x)$ 且 $g (1) = 2 ln 2$ ，求 $g (2)$ 。

1
(a) 建立分解式，消去分母： $x^{2} + 2 x + 2 = A (x + 1)^{2} + B x (x + 1) + C x$ 。代入 $x = 0$ 得 $A = 2$ ，代入 $x = - 1$ 得 $C = - 1$ ，比较 $x^{2}$ 系数得 $B = - 1$ 。分解结果： $\frac{2}{x} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ 。
2
(b) 逐项积分（因 $x > 0$ 省略绝对值）： $\int f (x) d x = 2 ln x - ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1} + C$ 。
3
(c) 用 $g (1) = 2 ln 2$ 解得 $C = 3 ln 2 - \frac{1}{2}$ 。代入 $x = 2$ 得： $g (2) = ln (\frac{32}{3}) - \frac{1}{6}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

当 $de g (P) \geq de g (Q)$ 时跳过多项式长除法，例如尝试直接将 $\frac{x ^{2}}{x - 1}$ 分解为 $\frac{A}{x - 1}$ 。

原因:

学生不检查次数就急于开始分解，忘记分解法只适用于真有理函数。

正确做法:

开始前一定要写下分子和分母的次数；如果 $de g (P) \geq de g (Q)$ ，先做长除法。

错误做法:

对重复一次因式只写一项，例如将 $\frac{P ( x )}{x ( x - 2 ) ^{2}}$ 分解为 $\frac{A}{x} + \frac{B}{( x - 2 ) ^{2}}$ 。

原因:

学生混淆了互异因式和重复因式的规则，忘记从1次到最高次幂的每一次都需要单独一项。

正确做法:

对重复因式 $(a x + b)^{n}$ ，需要写 $n$ 个项： $\frac{A _{1}}{a x + b} + \frac{A _{2}}{( a x + b ) ^{2}} + ... + \frac{A _{n}}{( a x + b ) ^{n}}$ 。

错误做法:

积分 $\frac{1}{x + c}$ 后省略对数中的绝对值，例如写 $ln (x + 1) + C$ 而不是 $ln ∣ x + 1∣ + C$ 。

原因:

学生记得早期课程中 $\frac{1}{x}$ 的原函数是 $ln x$ ，忘记 $ln x$ 仅在x为正时定义，而 $\frac{1}{x}$ 在x为负时也有定义。

正确做法:

考试中积分任何一次倒数函数时，一定要在对数内添加绝对值符号。

错误做法:

消去分母求解常数时出现符号错误，例如代入负根后得到 $A = - 2$ 而正确应为 $A = 2$ 。

原因:

学生代入时计算仓促，没有检查结果。

正确做法:

解出所有常数后，在积分前将常数代回消去分母后的方程，用任意一个非根的x值验证两边相等。

错误做法:

分母因式分解错误，例如将 $x^{2} - 2 x - 8$ 分解为 $(x - 4) (x + 1)$ 而非正确的 $(x - 4) (x + 2)$ 。

原因:

学生分解因式时过于仓促，导致整道题出错。

正确做法:

分解因式后，将因式乘回去验证是否得到原分母，再开始建立分解式。

6. 速查表

分类	公式	备注
真有理函数	$\frac{P ( x )}{Q ( x )}, de g (P) < de g (Q)$	可直接分解，无需长除法
假有理函数	$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = S (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )}$	使用多项式长除法； $de g (R) < de g (Q)$
互异一次因式法则	$\frac{P ( x )}{\prod ( a _{i} x + b _{i} )} = \sum \frac{A _{i}}{a _{i} x + b _{i}}$	适用于所有不重复一次因式
重复一次因式法则	For $(a x + b)^{k}$ , add $\sum_{i = 1}^{k} \frac{A _{i}}{( a x + b ) ^{i}}$	对从1到k的每一次幂添加一个对应项
$\frac{A}{a x + b}$ 的积分	$\int \frac{A}{a x + b} d x = A ln ∣ a x + b ∣ + C$	对数内必须添加绝对值
$\frac{A}{( a x + b ) ^{k}}$ 的积分 ( $k > 1$ )	$\int \frac{A}{( a x + b ) ^{k}} d x = \frac{A}{a ( 1 - k ) ( a x + b ) ^{k - 1}} + C$	此类型项使用幂函数积分法则
求解常数的根代入法	Substitute $x = - b / a$ for $(a x + b)$	求解未知常数的最快方法

下一步

部分分式积分法是求解右边为有理函数的可分离微分方程的核心前提，这类微分方程在AP微积分BC的自由问答题中频繁出现。它也是计算旋转体体积、求有理速率函数的变化积累、计算情境问题定积分时常见的中间步骤。不掌握这种分解技术，你无法完成这些多步骤问题，无法在考试中获得满分。掌握部分分式法后，你可以继续学习第6单元及后续单元中的其他高级积分主题和应用。