微积分基本定理与累积函数 — AP 微积分 BC

1. 核心概念：累积函数与FTC概述 ★☆☆☆☆ ⏱ 2 min

微积分基本定理（FTC）是连接微积分两大支柱——微分和积分——的核心结论，证明了二者互为逆运算。该内容约占AP微积分BC考试总分的8-10%，在选择题和自由问答题部分均会考查。

FTC包含两个核心部分：第一部分给出累积函数的导数，第二部分给出使用原函数计算定积分的方法。该内容是BC微积分中几乎所有积分应用问题的核心，从物理量的净变化到FRQ图像题中变限积分的分析，都离不开它。

2. FTC第一部分：累积函数的导数 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

FTC第一部分正式确立了积分和微分的互逆关系。若 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且我们对 $a \leq x \leq b$ 定义 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $A'(x) = f(x)$。直观来说，到x点为止总累积面积的变化率恰好等于函数f在x点的高度。

利用链式法则，该法则可以很容易推广到复合变量限的累积函数。若上限是函数 $u(x)$ 而非x本身，则导数为：

\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x)

对于上下限都是变量的累积函数，我们在常数 $a$ 处拆分积分，翻转下限积分得到负号，然后对每个限应用链式法则：

\frac{d}{dx} \int_{l(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) u'(x) - f(l(x)) l'(x)

Exam tip: 求导前务必明确标注 $f(t)$、上限函数和下限函数。这可以避免混淆项，也能避免本可避免的符号错误。

3. FTC第二部分：定积分的计算 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

FTC第二部分提供了一种直接计算定积分精确值的方法，无需计算黎曼和的极限。其正式表述为：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则：

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

这个结论的直观理解符合积分的净变化诠释：变化率 $F'(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分就是 $F(x)$ 在该区间上的总变化，即 $F(b) - F(a)$。我们在不定积分中添加的积分常数会在 $F(b) - F(a)$ 中抵消，因此计算定积分时不需要保留积分常数。

Exam tip: 务必明确写出 $F(b) - F(a)$，不要颠倒顺序。颠倒积分限会错误改变答案的符号，AP阅卷官会对该错误扣分。

4. 累积函数的分析 ★★★☆☆ ⏱ 5 min

考试中非常常见的一类问题要求你求累积函数的单调区间、局部极值、凹凸区间或拐点，题目通常会给出被积函数 $f(t)$ 的图像。根据FTC第一部分，我们可以直接从f得到累积函数的所有导数信息，不需要积分计算。

• 若 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $A'(x) = f(x)$：当 $f(x) > 0$ 时 $A(x)$ 单调递增，当 $f(x) < 0$ 时 $A(x)$ 单调递减，$f(x)$ 变号处是 $A(x)$ 的局部极值点。
• 对于二阶导数，$A''(x) = f'(x)$：当 $f(x)$ 单调递增时（$f'(x) > 0$）$A(x)$ 凹向上，当 $f(x)$ 单调递减时（$f'(x) < 0$）$A(x)$ 凹向下，$f(x)$ 斜率改变处（即 $f'(x)$ 变号处）是 $A(x)$ 的拐点。

Exam tip: 当根据f的图像分析累积函数时，记住 $A' = f$，$A'' = f'$。不要将A的凹凸性和f的符号混淆——凹凸性取决于f图像的斜率。