微积分基本定理与定积分 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · 积分与变化的累积 · 14 min read
1. 微积分基本定理第一部分：累积函数的导数 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
微积分基本定理第一部分建立了求导与曲线下面积累积之间的联系，它指出：累积函数（由带可变限的积分定义的函数）的导数恰好等于原被积函数。
Exam tip: 如果积分上下限都是可变的，可在上下限之间任意取一个常数拆分积分，再对每一部分应用微积分基本定理第一部分。这种情况不要仅依赖死记硬背公式。
2. 微积分基本定理第二部分：定积分的计算 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
微积分基本定理第二部分允许我们通过原函数计算定积分，无需再进行繁琐的黎曼和极限计算，它是AP微积分中计算定积分的核心方法。
Exam tip: 一定要先计算上限代入的值，再减去下限代入的值。颠倒顺序是定积分问题中符号错误的最常见来源。
3. 净变化定理 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
净变化定理是微积分基本定理第二部分的直接应用解释，在AP微积分涉及变化率的自由问答题中极为常见。
Exam tip: 对于实际情境中的净变化问题，最终答案一定要带上单位。AP阅卷官通常会因单位缺失或错误扣1分。
4. 额外AP风格例题 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 混淆了可变上限与可变下限，忘记交换积分限会改变积分的符号。
Why: 未仔细查看上下限就急于代入数值，混淆了微积分基本定理第二部分的表述。
Why: 混淆了积分哑变量与可变限变量，将积分变量当作常数处理。
Why: 混淆了定积分（结果为单个数值）与不定积分（原函数族）。
Why: 忘记微积分基本定理仅当被积函数在两个限之间的整个区间上连续时才可应用。
Why: 混淆了净变化（变化率的积分）与总变化（变化率绝对值的积分）。
Quick Reference Cheatsheet