原函数与不定积分（基本法则） — AP 微积分 BC
1. 核心定义与符号 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
函数 $f(x)$ 的原函数是可导函数 $F(x)$，满足在 $f$ 的定义域内所有 $x$ 都有 $F'(x) = f(x)$。$f(x)$ 的不定积分是 $f$ 所有原函数的一般形式，这些原函数构成一族仅相差竖直平移的函数。
本内容是AP 微积分 BC 所有积分内容的基础，占考试总分的1-3%。它是所有更复杂问题（包括微分方程、面积/体积计算、变化累积）的基石。
2. 核心代数原函数法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
所有基本原函数法则都由对应的求导法则逆推得到。常数倍法则和和差法则允许我们将常数提出积分号，逐项积分：
\int k f(x) dx = k \int f(x) dx
\int \left(f(x) \pm g(x)\right) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
积分的幂法则是求导幂法则的逆运算，但对 $n=-1$ 有一个关键例外：
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
当 $n=-1$ 时，被积函数是 $\frac{1}{x}$，幂法则会导致除以零。这种情况下原函数为 $\ln|x| + C$，因为对所有非零 $x$，$\ln|x|$ 的导数都是 $\frac{1}{x}$。
Exam tip: 应用幂法则前，一定要将根式和有理项改写为 $x^n$ 的形式，避免负指数和分数指数出错。
3. 指数函数与对数函数的原函数法则 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
将指数函数和对数函数的求导法则逆推，得到应用微积分问题中经常使用的核心法则。最简单的是自然指数函数的法则，它是自身的原函数：
\int e^x dx = e^x + C
对于底数为常数 $a \neq e$ 的一般指数函数，我们对求导法则 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a$ 逆推，除以 $\ln a$ 即可：
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a>0, a \neq 1
对于自然对数本身，原函数可由求导的乘积法则推导得到：
\int \ln x dx = x \ln x - x + C, \quad x>0
Exam tip: 积分前一定要确认函数是幂函数还是指数函数；如果变量在指数位置，使用指数法则，而非幂法则。
4. 三角函数的原函数法则 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
所有基本三角函数原函数法则都直接由求导法则逆推得到，AP微积分公式表不提供这些内容，因此需要记忆：
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
- $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
- $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
- $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$
Exam tip: 继续解题前，对最终得到的原函数求导，就能发现符号错误。
Common Pitfalls
Why: 学生直接套用幂法则，忘记了 $n \neq -1$ 这个例外。
Why: 混淆了指数函数（指数为变量，底数为常数）和幂函数（指数为常数，底数为变量）。
Why: 学生忘记不定积分需要任意常数，尤其是将结果带入题目后续部分时更容易遗漏。
Why: 学生只记住了求导法则，积分时忘记正确反转符号。
Why: 学生应用幂法则后化简分数时出现代数错误。
Why: 学生在例题中只处理正的 $x$，忘记 $\frac{1}{x}$ 在负 $x$ 处有定义，而 $\ln x$ 没有。