极值定理、全局极值与局部极值、临界点 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · CED 第5单元：微分的分析应用 · 14 min read
1. 临界点 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
这个定义源自费马定理：若函数$f$在内点$c$处取得局部极值，则$c$必为临界点。一个常见误区是认为所有临界点都是极值，这并不正确：$f(x) = x^3$在$x=0$处是临界点，但它不是极值。
2. 极值定理 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
若任意一个条件不满足，极值定理就不能保证全局极值存在。极值可能偶然存在，但你不能依靠该定理确认它们的存在。例如，$f(x) = 1/x$在开区间$(0, 1)$上连续，但没有全局最大值。
3. 局部极值与全局（绝对）极值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
极值根据它是哪个区间上的最值来分类。AP考试经常考查这两种分类的关键区别：
- **全局（绝对）最大值**: 满足$f(c) \geq f(x)$对区间$I$中*所有*$x$成立的函数值$f(c)$。
- **全局（绝对）最小值**: 满足$f(c) \leq f(x)$对区间$I$中*所有*$x$成立的函数值$f(c)$。
- **局部（相对）最大值**: 满足$f(c) \geq f(x)$对$c$附近某个小开区间内所有$x$成立的函数值$f(c)$（仅考虑附近点，而非整个区间）。
- **局部（相对）最小值**: 满足$f(c) \leq f(x)$对$c$附近某个小开区间内所有$x$成立的函数值$f(c)$。
AP常考的关键区别：
- 全局极值可以出现在临界点*或端点*，但局部极值仅出现在内临界点（端点不能是局部极值，因为定义域内无法包含端点周围的开区间）。
- 一个函数可以有多个局部极值，但只有一个全局最大值和一个全局最小值（尽管这些值可以出现在多个点上）。
- 任何内点处的全局极值自动是局部极值，但端点处的全局极值永远不是局部极值。
4. AP风格练习例题 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
Common Pitfalls
Why: 学生把检查端点找全局极值的要求，和临界点要求点是区间内点的定义混淆了。
Why: 学生只记住了'极值定理给出极值'，却忘记应用该定理需要两个条件都满足。
Why: 大多数入门例题使用处处可导的多项式，因此学生忘记了临界点定义的第二部分。
Why: 学生假设所有全局极值自动是局部极值，但局部极值的定义要求定义域内存在该点周围的开区间。
Why: 学生错误地认为费马定理双向成立，但费马定理只说所有局部极值都在临界点，反过来不成立。
Quick Reference Cheatsheet