确定函数单调递增/递减的区间 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · CED 第5单元：微分的分析应用 · 14 min read
1. 核心定义与单调性定理 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
若对区间$I$内任意两点$x_1 < x_2$都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上递增。若$x_1 < x_2$能推出$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数在$I$上递减。在一个区间上整体递增或整体递减的函数称为*单调*函数，这个术语可能会出现在AP考试中。
Exam tip: 在AP自由问答题（FRQ）中，你必须明确说明$f'(x) > 0$（或$<0$）来论证你的区间——如果只给出区间不提及导数符号，会被扣分。
2. 临界点与符号表的构造 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
$f'(x)$的符号只能在*临界点*和*定义域间断点*处改变。$f$的临界点是原函数$f$定义域内满足$f'(c) = 0$或$f'(c)$不存在的点$x=c$。定义域间断点（不在$f$定义域内、$f'$不存在的点）不算临界点，但它们仍然会将定义域分割为独立区间，必须包含在符号表中。
- 求原函数$f$的定义域。
- 计算$f'(x)$并完全因式分解。
- 从左到右按顺序列出所有临界点和定义域间断点。
- 将定义域分割为相邻有序点之间的开区间。
- 在每个区间内测试$f'(x)$的符号，再根据符号判断区间是递增还是递减。
Exam tip: 构造符号表前一定要将$f'(x)$完全因式分解。因式分解后你可以单独判断每个项的符号，让符号测试变得非常简单，不需要为每个测试点重新计算整个导数。
3. 参数函数的单调区间 ★★★★☆ ⏱ 3 min
AP微积分BC要求将该方法应用于参数曲线。对于由$x(t)$和$y(t)$定义的参数曲线，$y$对$x$的斜率为$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。同样的单调性判定法则适用：$\frac{dy}{dx} > 0$意味着曲线作为$x$的函数是递增的，$\frac{dy}{dx} < 0$意味着是递减的。
若$x(t)$严格单调（始终递增或始终递减），则每个$t$的区间与$x$的区间一一对应，因此你可以将$t$区间的端点代入$x(t)$，把区间从$t$转换为$x$。如果题目要求的是$t$的区间，你可以保留$t$的形式作答。
Exam tip: 一定要仔细读题，确认题目要求的是$t$的区间还是$x$的区间。需要转换时忘记从$t$转换为$x$是常见的失分错误。
4. AP风格的练习例题 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 临界点的定义要求该点在原函数的定义域内。
Why: 分割点处$f'(x)$为零或不存在，因此在这里测试无法得到区间上$f'$符号的任何信息。
Why: 临界点和定义域间断点分割了定义域，导数符号在不相邻区间之间可能发生改变。
Why: AP考试要求分析性论证而非图像直观才能给满分。
Why: 任何实数的平方都是非负的，因此它不会改变导数的符号。
Quick Reference Cheatsheet