凹凸性的判定 — AP 微积分 BC
1. 凹凸性的核心定义与二阶导数法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
凹凸性描述函数图像在区间内相对于切线的弯曲方向。该知识点占AP微积分BC考试分值的4-6%，会同时出现在选择题和自由问答题中，几乎总是与曲线绘图和极值分类结合考察。
\begin{align*} f \text{ is concave up on } I &\iff f''(x) > 0 \text{ for all } x \in I \\ f \text{ is concave down on } I &\iff f''(x) < 0 \text{ for all } x \in I \end{align*}
2. 求解凹凸区间 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
求解凹凸区间的系统流程和求增减区间类似，只不过使用二阶导数进行判定。凹凸性只可能在候选点发生改变：候选点是指位于$f$定义域内，满足$f''(x) = 0$或$f''(x)$无定义的点。
- 完整计算出$f''(x)$
- 找出所有候选点：即$f$定义域内所有满足$f''(x) = 0$或$f''(x)$无定义的$x$
- 候选点将$f$的定义域分割为多个待检验的开区间
- 检验每个区间内$f''(x)$的符号：正号对应凹向上，负号对应凹向下
3. 识别并验证拐点 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
拐点是函数$f$图像上凹凸性发生改变的点。一个常见误区是认为所有满足$f''(c) = 0$的点都是拐点，这并不正确：只要$c$在$f$的定义域内，只有$f''$在$c$两侧变号的点才是拐点，哪怕$f''(c)$本身无定义也不例外。
4. AP风格概念检测 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 考生将拐点的常见性质误认为必要条件，忘记了变号是必须满足的要求
Why: 考生只寻找$f''(x) = 0$的根，忘记了凹凸性改变点也可能是$f''$无定义的点，只要该点在$f$的定义域上
Why: 考生混淆了增减性的判定（一阶导数）和凹凸性的判定（二阶导数）
Why: 考生找到了$f''$的根，但忘记检验原函数在该点是否有定义
Why: 凹凸性是针对开区间定义的，而非单个点