隐函数关系的性质 — AP 微积分 BC
1. 一阶和二阶导数的隐函数求导法 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
隐函数关系是联系$x$和$y$的方程，无法整理为$y$关于$x$的显函数。即使隐函数通常是多值的（一个$x$对应多个$y$值），我们仍然可以通过隐函数求导技术利用导数分析其几何性质。
对于任意隐方程$F(x,y) = C$（常数），两边对$x$逐项求导。对于同时含$x$和$y$的项，先应用乘积/商法则，再对$y$的导数应用链式法则。将所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到一边，提取公因子$\frac{dy}{dx}$，求解后得到同时含$x$和$y$的$\frac{dy}{dx}$表达式。求二阶导数时，对$\frac{dy}{dx}$再次求导，再将$\frac{dy}{dx}$的已知表达式代回结果。
Exam tip: 求二阶导数前，务必先在给定点计算出$\frac{dy}{dx}$，而不是最后再代入点。这能大幅简化计算，减少AP考试中的代数错误。
2. 切线与法线，水平切线与垂直切线 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
得到隐曲线上某点的$\frac{dy}{dx}$后，$\frac{dy}{dx}$就是该点处切线的斜率，和显函数的情况完全一样。法线与切线垂直，因此法线斜率是切线斜率的负倒数（切线斜率非零且有定义时）。我们用点斜式$y - y_0 = m(x - x_0)$写出切线或法线的方程。
AP考试非常频繁地考察隐曲线上所有水平或垂直切线的点。水平切线斜率为零，因此当$\frac{dy}{dx} = 0$时出现（即$\frac{dy}{dx}$的分子为零，分母非零）。垂直切线斜率无定义，因此当$\frac{dy}{dx}$的分母为零、分子非零时出现。
Exam tip: 如果题目要求找出所有水平/垂直切线的点，务必检查候选点是否确实在原隐曲线上。仅满足斜率条件不足以得到正确答案。
3. 分析临界点、极值和凹凸性 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
我们用于分析显函数极值和凹凸性的规则同样适用于隐函数关系。隐曲线上的临界点是满足$\frac{dy}{dx} = 0$（水平切线，y关于x的局部极大值/极小值候选点）或$\frac{dy}{dx}$无定义（垂直切线，x关于y的极值候选点）的点。
对临界点分类时，我们和显函数一样使用二阶导数测试：如果临界点处$\frac{dy}{dx} = 0$，则$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$说明该点是局部极小值，$\frac{d^2y}{dx^2} < 0$说明该点是局部极大值。对于凹凸性，$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$是凹向上，$\frac{d^2y}{dx^2} < 0$是凹向下，凹凸性改变的点就是拐点。
Exam tip: 在临界点计算二阶导数时，记住$\frac{dy}{dx} = 0$，因此该项会从大多数表达式中消去，大幅简化计算。做其他计算前，一定要先代入$\frac{dy}{dx} = 0$。
4. AP风格概念检查 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生记得对y应用链式法则，但忘记同时含x和y的项在应用链式法则前需要先应用乘积法则。
Why: 学生忘记在求二阶导数时y仍然是x的函数，因此所有y项仍然需要乘以$\frac{dy}{dx}$因子。
Why: 混淆了水平切线和垂直切线的条件，这在不结合上下文死记条件时很常见。
Why: 学生套用通用公式，没有利用一阶导数条件得出的所有临界点处$\frac{dy}{dx} = 0$这一结论。
Why: 学生认为满足导数条件就足够了，没有意识到只有直线上的特定点在原隐曲线上。