反三角函数的求导 — AP 微积分 BC
1. 推导基本反三角函数的导数 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
所有反三角函数的导数公式都可以通过反函数定义和隐函数求导推导得出。六种反三角函数的推导步骤一致：将反三角方程改写为普通三角方程，隐式求导，求解$\frac{dy}{dx}$，使用勾股恒等式改写为关于$x$的表达式，最后调整符号以匹配反函数的主值范围。
2. 复合反三角函数的求导 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
几乎所有AP考试中涉及本知识点的题目都是复合反三角函数，即反三角函数的自变量是另一个关于$x$的函数。要对这类函数求导，你需要将反三角函数导数法则和链式法则结合：若$y = f(u(x))$，其中$f$是反三角函数，则$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。
3. 反三角函数组合的求导 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP题目经常要求使用乘积法则或商法则对反三角函数与其他类型函数（多项式、指数函数、对数函数）的组合求导。求解过程和对其他任意组合求导一致：先应用乘积或商法则，再使用反三角函数法则和链式法则计算每个反三角项的导数。
4. AP风格练习 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生记住了$\arcsin x$的基本导数，但忘记内层函数$5x$的导数非零，错误地认为$u' = 1$。
Why: 学生混淆了仅符号不同的$\arcsin x$和$\arccos x$的导数。
Why: 学生忘记由于定义域限制，反正割的导数要求加绝对值。
Why: 学生因为赶时间，只把内层函数代入了链式法则项，而没有代入反三角函数导数公式。
Why: 学生假设对所有$x$都有$\arcsin(\sin f(x)) = f(x)$，但这个等式仅当$f(x)$落在$\arcsin$的主值范围内才成立。