反函数求导 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · CED 第三单元：复合函数、隐函数与反函数的求导 · 14 min read
1. 通用反函数求导公式 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
Exam tip: 在AP考试中求多项式的$f^{-1}(a)$时，永远先试小整数$x = -2, -1, 0, 1, 2$：考试题目设计时都会让这个值是小整数，你永远不需要解复杂的高次方程。
2. 通过隐函数求导法对反函数求导 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
当你需要反函数的通用导数（不只是单点处的导数）时，隐函数求导是最直接的方法。即使你无法将反函数显式写成关于$x$的表达式，该方法仍然适用。该方法直接来自反函数定义：若$y = f^{-1}(x)$，则$x = f(y)$，其中$y$是关于$x$的函数。
Exam tip: 如果你考试当天忘记了某个特定反函数（比如$\arcsin x$）的导数，你总是可以用这个隐函数法快速重新推导，避免记忆错误。
3. 反三角函数的导数 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
反三角函数是限制定义域使其成为单射的三角函数的反函数。所有反三角函数的导数都是代数函数，这使得它们在本课程后续的积分中非常有用。当反三角函数的自变量是关于$x$的函数时，你必须像对其他任何复合函数一样应用链式法则。
4. AP风格练习例题 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了需要代入原函数导数的点，将反函数的输入$a$错误当作$f'$的输入。
Why: 学生记住了基本反函数的标准导数，但忽略了自变量是关于$x$的函数，不只是$x$本身。
Why: 学生只关注导数公式，忘记了原反函数仅在限制定义域上有定义，因此导数也仅在同一定义域上存在。
Why: 学生忘记了反函数求导公式要求分母非零。
Why: 函数的反关系导致学生错误地省略了斜率的倒数步骤。
Quick Reference Cheatsheet