链式法则 — AP 微积分 BC

1. 什么是链式法则？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

链式法则是形式为$y = f(g(x))$的复合函数的核心求导法则，其中$y$依赖于中间函数$u = g(x)$，而$u$本身依赖于$x$。根据AP微积分BC的课程与考试说明（CED），链式法则相关内容占考试总分的4-6%，占第三单元内容的9-13%，在选择题（MCQ）和自由问答题（FRQ）部分都会考查。

不同于仅适用于初等函数的基本求导法则，链式法则可以让你把复杂的组合函数拆分为你已经知道导数的简单部分，再将这些导数相乘得到完整导数。它是第三单元所有其余求导技巧的基础，也是本课程后续学习相关变化率、优化问题和换元积分法所必需的基础。

2. 基础内外层链式法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

该法则的乘积形式符合变化率的规律：如果$y$的变化速度是$u$的3倍，$u$的变化速度是$x$的2倍，那么$y$的变化速度就是$x$的$3 \cdot 2 = 6$倍，和链式法则得到的结果一致。

Exam tip: 开始解题时一定要明确标出内层和外层函数，即使你可以心算也这么做——这可以避免考试中忘记乘内层导数$g'(x)$。

3. 嵌套复合函数的广义链式法则 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

很多AP考试题目会包含两层以上的复合（称为嵌套函数），例如三层复合的$y = f(g(h(x)))$。对于这类函数，你可以反复应用链式法则，从最外层向内层逐层求导，对基础法则进行扩展。

dy/dx = dy/du \cdot du/dv \cdot dv/dx

对应三层复合$y = f(u), u = g(v), v = h(x)$。这个规律可以推广到任意层数的嵌套：最终结果为每一层对应一个导数项，所有项相乘。考试中常见的三层复合例子是：多项式的指数函数的三角函数。

Exam tip: 处理嵌套函数时，开始前先数清楚层数——如果有$n$层，最终导数中应该有$n$个导数项相乘。如果项数更少，说明你漏了一次求导步骤。

4. 参数曲线的链式法则 ★★★★☆ ⏱ 5 min

AP微积分BC要求计算由$x = x(t)$和$y = y(t)$定义的参数曲线的导数，两个坐标都是参数$t$的函数。要求曲线切线的斜率$\frac{dy}{dx}$，我们利用链式法则整理导数恒等式：

dy/dt = dy/dx \cdot dx/dt

整理后得到一阶导数公式，再次应用链式法则得到二阶导数公式：

dy/dx = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \quad dx/dt \neq 0

d^2 y / dx^2 = \frac{\frac{d}{dt}\left(dy/dx\right)}{dx/dt}, \quad dx/dt \neq 0

Exam tip: 计算参数曲线的二阶导数时，千万不要忘记除以$\frac{dx}{dt}$——这是BC选择题中最常考的链式法则错误之一。

5. 反函数导数的链式法则 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

链式法则可以用来推导反函数的导数公式。对于一一对应的可导函数$y = f(x)$，其反函数为$f^{-1}(y)$，我们从反函数恒等式出发：

f\left(f^{-1}(y)\right) = y

对$y$两边求导，对左侧应用链式法则，整理后得到反函数导数公式：

(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}

这个公式让你不需要求出完整的反函数，就可以计算反函数在某一点的导数，这对于三次函数这类反函数复杂的函数尤其有用。

Exam tip: 当题目要求反函数在某一点的导数时，一定要先解出反函数在该点的输入（即得到目标$y$的$x$），再计算导数——不要浪费时间求完整的反函数。

6. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 2 min