乘积法则 — AP 微积分 BC
1. 核心定义：两个函数的乘积法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
乘积法则是一项基础求导技巧，它允许你无需展开乘积就能计算两个可导函数乘积的导数，而对于$x\sin x$或$e^x \ln x$这类非多项式乘积，展开是不可能的。它占AP考试第二单元分数的10–12%，是几乎所有高阶求导内容的基础。
Exam tip: 在AP考试中，除非题目明确要求，否则你无需展开最终导数；因式分解形式几乎总是可以获得满分。
2. 三个及以上函数的乘积法则 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
通过反复运用两个函数的乘积法则，乘积法则可以自然推广到任意数量的可导函数，并且呈现出清晰的规律：对于$n$个函数，导数是$n$项的和，每一项恰好对一个函数求导，其余所有函数保持不变。AP考试最常选择题中考察三个函数的乘积。
Exam tip: 对于三个函数的乘积，一定要确认你恰好得到三项；漏一项是这类题最常见的错误。
3. 切线应用 ★★☆☆☆ ⏱ 5 min
AP考试中乘积法则一个常见的应用是求由函数乘积定义的曲线的切线方程。这类题结合了乘积法则和直线的点斜式，在选择题和前几道简答题中都经常考察。解题需要两个值：切点$(x_0, y_0)$，其中$y_0 = h(x_0)$，以及通过乘积法则得到的斜率$m = h'(x_0)$。
Exam tip: 一定要先算$y$坐标再算斜率；考生很容易不小心把$x_0$代入导数得到$y_0$，白白丢掉送分题的分数。
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了乘积的导数和导数的乘积，错误地认为导数像对加法分配一样对乘法也满足分配律
Why: 学生把注意力都放在记住乘积法则结构上，忽略了单个函数的基本求导法则
Why: 学生尝试直接把两个函数的直觉用到三个函数上，数错了项数
Why: 学生认为展开比运用乘积法则更简单，但这会引入不必要的额外乘法步骤
Why: 当要求斜率时学生急于代入给定的$x$值，但有时题目会先要求一般导函数