cos x、sin x、e^x、ln(x)的导数 — AP 微积分 BC
1. 正弦函数与余弦函数的导数 ★☆☆☆☆ ⏱ 4 min
$\sin x$和$\cos x$的导数可通过导数的极限定义直接推导，推导过程用到两个关键三角极限：$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$和$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$。这些公式仅当$x$以弧度为单位时成立，这也是AP考试的默认约定。
Exam tip: AP考试题目中涉及根号和$\pi$的答案几乎总是要求精确形式，因此除非题目明确要求，否则不要转换为小数。
2. 自然指数函数$e^x$的导数 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
自然指数函数$f(x) = e^x$中，$e \approx 2.71828$是欧拉数，该函数有一个独特性质：它是自身的导数。这个结论对所有实数$x$成立，且仅适用于以$e$为底的自然指数函数。
3. 自然对数$\ln(x)$的导数 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
$\ln(x)$是$e^x$的反函数，仅在$x>0$时有定义。我们可以用反函数求导法推导它的导数。
Exam tip: 一定要检查切线方程的化简结果：常数项经常会抵消，即使斜率正确，AP阅卷官也会因最终形式错误扣分。
4. AP风格综合练习 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了三角函数导数的顺序，将导数法则和不定积分法则搞混。
Why: 学生看到指数就自动使用幂法则，但幂法则仅适用于指数为常数的情况。
Why: 学生将$\ln x$的导数和其他法则混淆，或与指数函数导数搞混。
Why: 学生对任何带$\ln$的表达式都套用$\frac{1}{x}$法则，忘记常数的对数本身就是常数。
Why: 学生看到$e^x$或$\sin x$没有负号，就错误地把正号带到余弦上。
Why: 学生将$\ln x$的导数和$x^{-1}$的幂法则混淆，或读错题目。