可微性与连续性的关系 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · CED 第二单元：求导 · 14 min read
1. 定理：可微性蕴含连续性（可微必连续） ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
本主题的核心结论是一个形式逻辑蕴含关系：若函数$f$在$x=a$处可微，则$f$一定在$x=a$处连续。该结论可以用极限运算法则直接证明，其逆否命题是AP考试中快速判断可微性最常用的工具之一。
Exam tip: 判断可微性时永远先检查间断性。如果发现间断点，可以直接停止并写出结论，在考试当天节省1-2分钟。
2. 连续不蕴含可微 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
虽然可微一定连续，但逆命题不成立：连续性是可微性的必要不充分条件。函数可以在$x=a$处完全连续，但仍然不可微。连续但不可微的函数共有四种常见情况：
- 拐角：左导数 $\neq$ 右导数
- 尖点：单侧导数趋向相反的无穷大
- 竖直切线：导数趋向$\pm\infty$（不是有限值）
- 振荡切线：差商的极限不存在
在AP考试中，这个概念最常出现在衔接点连续的分段函数题目中：你必须检验左导数是否等于右导数来确认可微性。
Exam tip: 不要只比较分段导数就跳过连续性检验。如果函数不连续，即使两侧导数相等，函数也不可微。
3. 从图像中识别不可微点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
AP选择题中一种常见题型是给出$f(x)$的图像，要求你数出给定区间内不可微点的个数。解决这类问题时，直接在图像上检查四种不可微点即可。
Exam tip: 不要忘记把竖直切线算作不可微点。大多数学生记得拐角和间断点，但在图像题中漏算竖直切线。
4. 求可微分段函数中的常数 ★★★★☆ ⏱ 6 min
自由作答题中一种常见题型要求你求出分段函数中的未知常数，使得函数在衔接点处既连续又可微。永远遵循这个顺序：先求满足连续性的常数，再求解可微性条件。
Common Pitfalls
Why: 学生认为导数匹配就意味着函数连通，跳过了可微性必要条件的连续性检验。
Why: 学生混淆了蕴含关系的方向，错误地反转了'可微必连续'的规则。
Why: 学生把函数的极限和函数在该点连续混淆了。
Why: 学生忘记$|x|$是连续但不可微函数的经典例子，混淆了蕴含关系的方向。
Why: 学生答题仓促，默认代入最常见的衔接点数值，导致比较错误。
Quick Reference Cheatsheet