几何级数的运算 — AP 微积分 BC
1. 几何级数的定义与收敛性 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
几何级数是等比数列各项的和，首项之后的每一项都是前一项乘以一个非零常数公比$r$。与大多数其他无穷级数不同，收敛的几何级数存在精确的闭型和，因此是学习更高级级数内容的基础工具。
S_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_1 r^k = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \neq 1
要求无穷几何级数的和，我们对部分和取$n \to \infty$时的极限。若$|r| < 1$，则$r^n \to 0$，因此我们得到有限的收敛和：
S = \sum_{n=0}^{\infty} a_1 r^n = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1
无穷几何级数收敛**当且仅当** $|r| < 1$。若$|r| \geq 1$，部分和不会趋近于有限极限，因此级数发散。
Exam tip: 写出有限和之前一定要先确认$|r| < 1$。如果你给发散几何级数写出了有限和，即使你代入公式的值是对的，AP阅卷官也会扣分。
2. 改写非标准型几何级数 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
大多数AP考试题目不会把几何级数写成整齐的$\sum ar^n$标准形式。你通常需要化简指数、提取常数、或者对级数重新编号，才能正确识别$a_1$和$r$。核心策略是把下标变量$n$的幂次分离到指数中，这样就能把每一项写成$c \cdot r^n$的形式。
Exam tip: 改写指数时，一定要先把所有常数从下标项中分离出来，再识别$r$，这样可以避免混淆公比。
3. 将循环小数转化为分数 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
收敛几何级数最常见的具体应用之一就是将循环小数转化为精确分数形式。循环小数可以拆分为有限的不循环部分和无穷的循环几何级数，公比为$10^{-k}$，其中$k$是循环节的位数。
Exam tip: 要正确数出循环节的位数。两位循环节对应的公比一定是$r = 1/100$，数完后再检查一遍确认。
4. 应用与练习 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 你混淆了起始下标，即使起始下标处的指数不为零，也错误认为常数系数就是首项。
Why: 你忘记收敛条件使用的是$r$的绝对值，而不是$r$本身。
Why: 你记住了公式，但忘记公式仅在级数收敛时才成立。
Why: 你错误地认为跳过前两项就是减去两倍的首项，而不是减去前两项各自的实际值。
Why: 你忘记为循环级数的首项正确移动小数点。