将函数表示为幂级数 — AP 微积分 BC
1. 几何幂级数表示法 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
所有幂级数表示的基础是你已经知道的无穷几何级数公式。当$|r| < 1$时，无穷级数的和为$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$。如果令$r = g(x)$，我们就可以将任何改写成$\frac{1}{1-g(x)}$形式的有理函数直接写为幂级数，收敛条件为$|g(x)| < 1$。
Exam tip: 始终先改写分母，使常数项为1，匹配$1-r$的形式。如果因式分解错误，你会得到级数每一项都错误的系数。
2. 幂级数的逐项求导 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
在收敛区间内（端点可能除外），幂级数可以像有限多项式一样逐项求导。这个性质让我们可以从已知的表示形式构造新的幂级数。如果$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$的收敛半径为$R$，那么导数的收敛半径相同，但你必须重新检查端点处的收敛性。
f'(x) = sum_{n=1}^infty n c_n (x-a)^{n-1}
Exam tip: 对幂级数求导时，常数项会消失，因此起始下标总是从$n=0$变为$n=1$。忘记调整起始下标是选择题中常见的陷阱选项。
3. 幂级数的逐项积分 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
和求导一样，幂级数可以在收敛区间内逐项积分。这是一种非常有用的技巧，可以用来求有理函数积分得到的超越函数（如$\ln(1+x)$和$\arctan x$）的幂级数。
int f(x) dx = C + sum_{n=0}^infty frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}
收敛半径和原级数相同，但你必须重新检查端点处的收敛性。积分常数$C$可以通过将$x=a$（级数的中心）代入函数得到。
Exam tip: 对幂级数积分时，不要忘记求解积分常数$C$。对于中心在0点的麦克劳林级数，$C = f(0)$，对于$\ln(1+x)$或$\arctan x$这类常见函数，C几乎总是0。
4. AP风格概念检测 ★★★★☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生知道收敛半径保持不变，因此错误地认为整个收敛区间都不变，但端点处的收敛性可能发生变化。
Why: 学生错误识别几何级数公式中的$r$，忘记分母形式是$1-r$，因此$+x$意味着$r=-x$。
Why: 学生在移动级数起始下标时，换元过程过于仓促出错。
Why: 学生忘记从分母分解出常数后，它的倒数会留在分数外面。
Why: 学生将求导变量$x$和下标$n$混淆，因此不必要地修改了系数。