积分收敛判别法 — AP 微积分 BC
1. 积分判别法与所需前提假设 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
积分收敛判别法利用你已掌握的积分知识，将无穷离散正项级数的敛散性和反常积分的敛散性联系起来。对于级数 $\sum_{n=N}^\infty a_n$（其中 $a_n = f(n)$），当三个前提假设全部满足时，级数的敛散性与反常积分 $\int_N^\infty f(x) dx$ 的敛散性一致。
- $f$ is **continuous** on $[N, \infty)$: 区间内无间断点、跳跃间断或垂直渐近线
- $f$ is **positive** on $[N, \infty)$: 对于所有 $x \geq N$，$f$ 的所有输出都大于0
- $f$ is **decreasing** on $[N, \infty)$: 对于所有 $x > N$，$f'(x) \leq 0$，因此 $f(x)$ 随 $x$ 增大不递增
2. 运用积分判别法判断敛散性 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
验证完全部三个前提假设后，积分判别法会给出明确结论：级数 $\sum_{n=N}^\infty a_n$ 收敛当且仅当反常积分 $\int_N^\infty f(x) dx$ 收敛。积分结果有限说明级数收敛，积分发散说明级数发散。
这个关系来自单调递减正函数的黎曼和界：
积分判别法最著名的结论就是p级数敛散性法则：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散，这个结论直接由积分判别法证明。
3. 部分和的余项误差界 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
当你用收敛无穷级数的第n个部分和 $S_n$ 近似级数总和S时，余项 $R_n = S - S_n$ 就是近似的误差。对于满足积分判别法前提假设的级数，我们可以得到这个误差明确的上下界。
如果 $f$ 在 $x \geq n$ 上连续、为正且单调递减，且 $\sum_{k=1}^\infty f(k) = S$ 收敛，则余项满足：
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 正性条件不满足，因为 $\frac{\sin x}{x^2}$ 符号交替变化。
Why: 学生混淆定积分和反常积分，忘记应用判别法需要的是到无穷的积分。
Why: 学生混淆了积分值和级数的和。
Why: 学生混淆了第n项判别法和积分判别法，错误地将发散结论归给了错误的判别法。
Why: 学生记住了公式，却忘记它只适用于收敛级数，因为发散级数没有有限的总和可以近似。