求函数的泰勒级数或麦克劳林级数 — AP 微积分 BC
1. 泰勒级数与麦克劳林级数的核心定义 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
求泰勒或麦克劳林级数就是构造给定无穷可微函数的无穷幂级数表示。系数的定义是匹配函数在所选中心点$a$处的函数值和各阶导数。
本主题是第10单元的核心考点，占AP微积分BC考试分值的17-18%。求级数的题目会出现在选择题和自由问答题部分，通常会和其他级数考点（如求收敛性、近似）结合考察。
2. 定义法直接计算 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
中心点在$a$的泰勒级数的正式定义给出了通式：
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n
其中$f^{(n)}(a)$是$f$在$a$处的$n$阶导数，按约定$f^{(0)}(a) = f(a)$。对于麦克劳林级数（$a=0$），公式简化为：
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
直接法需要计算前几阶导数，找出系数的规律，然后写出通项。该方法最常用于不符合已知标准级数的函数，或是中心点不为0的情况。
Exam tip: 当题目明确要求使用泰勒级数定义，或是中心点不为0时，使用该方法。
3. 换元法构造级数 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
当你记住了常用函数的标准麦克劳林级数后，大多数考试题目都不需要从头重新计算系数。换元法是最常用的技巧：如果已知级数$f(u) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n u^n$，那么在新的收敛区间内，$f(g(x)) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (g(x))^n$。
AP考试中该方法比直接定义法考察更频繁，因为它考察你运用已知级数的能力，而不只是计算导数。
4. 通过求导和积分构造级数 ★★★★☆ ⏱ 3 min
幂级数可以在其收敛区间内逐项求导和积分，因此你可以利用这个性质从已知级数推导新级数。如果$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$，那么：
f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}
\int f(x) dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}
逐项求导和积分不会改变原级数的收敛半径；仅端点处的收敛性可能改变。当目标函数是某个已知级数函数的导数或积分时，使用该方法。
5. 乘以$x$的幂次调整级数 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中常见的题目要求求一个函数的级数，该函数是已知函数乘以$x^k$（一般中心点则为$(x-a)^k$）。这个简单操作考察你对幂级数项性质的理解：当你将幂级数乘以$(x-a)^k$时，所有指数都增加$k$，系数保持不变。
Common Pitfalls
Why: 学生忘记将负号也进行幂运算，只对$x^2$项做了幂运算。
Why: 学生混淆了泰勒级数的一般形式和记忆的麦克劳林系数，认为移动$x$就足够处理非零中心点了。
Why: 学生忘记$\ln(1+0) = 0$，因此中心点处的积分常数为零。
Why: 学生习惯了$e^x$的导数，忘记链式法则会给线性内层函数带来额外的常数因子。
Why: 学生忘记乘以$x^2$会让所有指数增加2。