收敛的比较判别法 — AP 微积分 BC
1. 比较判别法概述 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
比较判别法是判断无穷级数敛散性的一组相关方法，核心思路是将未知敛散性的级数与一个已知敛散性的级数进行比较。该知识点占AP微积分BC考试总分的17-18%，在选择题和自由作答题中都经常出现。
与需要对通项积分的积分判别法不同，比较判别法依赖代数化简和对标准级数（p级数、几何级数）的了解，因此对大多数有理级数、根式级数和指数级数来说应用起来更快。所有比较判别法最初都是为非负项级数设计的，可通过绝对收敛推广到其他级数。
2. 直接比较判别法 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
该法则的直观理解很简单：如果更大的上界级数都不发散，那么被它上界约束的更小级数就不可能发散。反之，如果更小的下界级数已经发散，那么任何更大的级数一定也发散。
Exam tip: 得出结论前务必检查不等式方向
3. 极限比较判别法 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
该方法的直观理解是，当$n$很大时，$a_n \approx L b_n$，因此两个整体级数的增长速度相同。这使得它非常适合$n$的有理函数，因为当$n$很大时，分子分母的首项决定了级数的性态。
4. 将比较判别法推广到含负项的级数 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
核心的比较判别法仅适用于所有项非负（或所有项非正）的级数，因为它们依赖放缩来得出结论。要对正负混合项的级数应用比较法，我们需要利用绝对收敛和收敛的关系。
如果绝对值级数$\sum |a_n|$收敛，那么原级数$\sum a_n$绝对收敛，因此一定收敛。由于$\sum |a_n|$的所有项都是非负的，我们可以对这个变换后的级数应用直接比较法或极限比较法来检验收敛性。
需要记住的关键限制：如果$\sum |a_n|$发散，比较判别法无法告诉你原交错/变号级数的敛散性。这种情况下你需要用其他判别法（比如交错级数判别法）来检验条件收敛。
5. AP风格概念检验 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生记住了可以和p级数比较，但忘记不等式方向不符合想要得到的结论。
Why: 学生错误地将$0 < L < \infty$的结论推广到边界情况。
Why: 学生忘记所有比较法都要求非负项。
Why: 学生混淆了每种比较能得到的信息。
Why: 学生忘记把分母中$n$的指数相加来得到正确的p级数。