选择求极限的方法 — AP 微积分 BC
1. 确定型极限的直接代入法 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
直接代入法永远是你应该首先尝试的方法，因为它是最快最简单的方法。当函数$f(x)$在我们趋近的点$x=a$处连续时，这个方法适用。如果代入后得到一个有限实数，那这个就是极限值，求解完成。如果你代入后得到$c/0$ for $c \neq 0$，那么极限是无穷大或者不存在，这仍然是一个确定型结果。
Exam tip: 永远先试直接代入法。大约70%的AP基础极限题都可以用这个方法解决，能节省宝贵的考试时间。
2. 不定型$0/0$极限的代数变形法 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
当直接代入得到不定型$0/0$时，对于含多项式或根号的问题，代数变形是下一步应该尝试的方法。若分子分母在$x=a$处都为零，则$(x-a)$一定是可以约去的公因子，这不会改变极限，因为极限只取决于$x=a$附近的值，和$x=a$处的值无关。
Exam tip: 约去公因子后，一定要对化简后的表达式重新尝试直接代入。对于$0/0$型的多项式/根号极限，化简后几乎总能得到有限结果。
3. 不定型极限的洛必达法则 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
当代数变形不可行时，比如问题涉及超越函数（三角函数、指数函数、对数函数）或难以因式分解的高次多项式，洛必达法则是处理不定型的首选方法。它仅适用于不定型$0/0$或$\infty/\infty$，但其他不定型可以重写为分数形式后使用该法则。
Exam tip: 永远不要对确定型使用洛必达法则，也不要对整个商使用商的求导法则——你必须分别对分子和分母求导。
4. 振荡有界极限的夹逼定理 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
夹逼定理（也叫三明治定理）是处理有界振荡函数相关极限的正确方法，例如$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ or $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$，乘以趋近于零的函数（或者有界函数除以趋近于无穷的函数）。正弦和余弦这类三角函数始终有界于$-1$和$1$之间，这让我们可以将函数夹在两个趋近于同一极限的界之间求解。
Exam tip: 如果你看到含$\frac{1}{x}$的三角函数，或是当$x \to 0$ or $x \to \infty$时发生振荡的其他项，几乎一定用夹逼定理——代数变形和洛必达法则在这里都不适用。
Common Pitfalls
Why: 你没有在直接代入后检查极限形式就直接用了洛必达法则；原极限是$2/0$，属于确定的无穷型，不是不定型。
Why: 你混淆了$x=2$处的函数值和$x \to 2$的极限，会得出关于连续性的错误结论。
Why: 你只专注于对更复杂的分子求导，忽略了简单的分母。
Why: 不管函数类型，你默认任何$0/0$极限都用代数变形。
Why: 你忘了夹逼定理既适用于无穷远点也适用于有限点。