探究不连续点的类型 — AP 微积分 BC
1. 不连续点分类概述 ★☆☆☆☆ ⏱ 2 min
当函数在$x=a$处连续的三个条件中任意一个不满足时，就会产生不连续点：(1) $f(a)$有定义，(2) $\lim_{x \to a} f(x)$存在，(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。这个考点要求你系统地对不连续点的类型进行分类，而不只是判断存在不连续点。
不连续点首先分为可去不连续点（可通过重新定义一个点修正）和非可去不连续点（无法通过重新定义一个点修正）。非可去不连续点进一步分为跳跃、无穷和振荡三种类型。该考点占AP微积分BC考试分值的4-6%，会在选择题和自由回答题中都出现。
2. 可去不连续点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
可去不连续点最常出现在有理函数中，当分子和分母的公因子被约去时产生。也可出现在分段函数中，当定义点的值不匹配周围的极限时产生。
3. 非可去不连续点：跳跃不连续点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
跳跃不连续点得名于函数在点$a$处从一个值'跳跃'到另一个值。由于两个单侧极限都是有限的但不相等，无法为$f(a)$选择一个单一值使双侧极限存在，因此该不连续点是非可去的。
4. 非可去不连续点：无穷不连续点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
无穷不连续点出现在有理函数中，分母的某个因子无法和分子对应的因子约去时产生。由于极限不是有限的，无法通过重新定义$f(a)$消除该不连续点。
5. 非可去不连续点：振荡不连续点 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
这是AP考试中考查频率最低的不连续点类型，但仍属于考纲范围，最常出现在要求从描述或图像识别类型的选择题中。
Common Pitfalls
Why: 学生不做因式分解、不检查公因子，就直接把分母为零和垂直渐近线联系起来。
Why: 学生混淆了'$f(a)$有定义'和'可去不连续点要求双侧极限存在'这两个要求。
Why: 学生将振荡的中点误认为是极限。
Why: 学生在分类前忘记检查单侧极限是否相等。
Why: 学生过度推广了被约去公因子的情况。