从图像估计极限值 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · 第1单元：极限与连续性 · 14 min read
1. 从图像求单侧极限 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
要从图像估计单侧极限，沿着趋近方向追踪图像，读取图像趋近$x=a$时接近的$y$值即可。空心点、实心点和无定义点都不影响极限，只有给定侧$a$附近的图像趋势才决定极限值。
Exam tip: 在AP自由问答题（FRQ）中，你需要在单侧极限的证明过程中明确提及'从左侧/右侧趋近'才能获得满分。
2. 从图像求双侧极限 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L
要从图像估计双侧极限，始终先估计两个单侧极限，再检查它们是否相等。如果相等，该值就是双侧极限；如果不相等，双侧极限不存在（DNE）。极限可以在$f(a)$无定义（孔洞/可去间断点）的点存在，也可以在$f(a)$的定义值和极限值$y$不同的点存在。
Exam tip: 如果选择题选项说极限不存在，请务必再次检查单侧极限是否真的不相等。很多学生错误地在'单侧极限相等但函数在该点无定义'的情况下选择了不存在（DNE）。
3. 无穷极限与无穷远处的极限 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
另外两种常见的需要从图像估计的极限类型是无穷极限（垂直渐近线附近）和无穷远处的极限（端点行为）。
Exam tip: 如果AP问题问到'无穷极限是否存在'，你必须回答不存在。写出$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$只是描述函数行为，不代表极限作为有限值存在。
4. AP风格练习题检测 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了函数在$a$处的实际值和函数在$a$附近趋近的值。
Why: 学生错误地认为如果函数在该点不存在，极限就不能存在。
Why: 学生混淆了实心点的位置（函数值）和图像趋势的极限。
Why: 学生认为将行为标记为无穷就意味着极限存在。
Why: 学生使用最近的可见点，而不是遵循端点行为。
Quick Reference Cheatsheet