利用极限的代数性质求极限 — AP 微积分 BC
1. 基础极限法则与直接代入法 ★☆☆☆☆ ⏱ 4 min
极限的基本代数性质称为极限法则，它可以让我们将复杂极限拆分为更简单、可求解的部分。所有法则都假设$\lim_{x \to a} f(x) = L$和$\lim_{x \to a} g(x) = M$都存在且为有限实数。
- 常数倍法则：对任意常数$c$，有$\lim_{x \to a} c f(x) = cL$
- 和差法则：$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
- 乘积法则：$\lim_{x \to a} [f(x) g(x)] = LM$
- 商法则：当且仅当$M \neq 0$时，$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$
- 幂/根法则：$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$，且$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$（n为偶数时要求$L \geq 0$)
Exam tip: 使用直接代入前，务必先确认求值点在函数定义域内——如果在定义域内，就不需要额外计算了。
2. 0/0型未定式的因式分解与约分 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
当你把$x=a$代入有理函数得到$\frac{0}{0}$时，就得到了未定式。这不意味着极限不存在——仅说明商法则不能直接使用。$\frac{0}{0}$几乎总是说明分子分母有公因子$(x-a)$。因为我们求的是$x \to a$的极限，$x$实际上永远不等于$a$，所以我们可以安全地约去公因子，对化简后的表达式使用直接代入法。
Exam tip: 如果代入后得到0/0，一定要先找公共一次因子——在AP考试中，十分之九的情况这个因子都能被完整约去。
3. 含根号未定式的有理化法 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
当0/0型未定式包含根号时，因式分解无法直接使用，因此我们使用有理化方法。该方法利用平方差恒等式：$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$。我们将分子分母同时乘以根式表达式的共轭式（共轭式改变根号项和常数项之间的符号，不改变根号内部的符号），消去根号，得到公因子，然后约分并代入。
Exam tip: 一定要把共轭式乘在含根号的那一侧：如果根号在分子，就乘以分子的共轭式；如果根号在分母，就乘以分母的共轭式。
4. 分段函数极限的代数求值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
当求x趋近于分段函数分段点的极限时，你需要使用适用于$x < a$的表达式求左极限（$x \to a^-$），使用适用于$x > a$的表达式求右极限（$x \to a^+$）。双侧极限存在当且仅当两个单侧极限相等。你可以使用相同的代数性质（直接代入、因式分解、有理化）分别计算每个单侧极限。
Exam tip: 一定要反复核对哪一段对应哪一侧：$a^-$表示$x < a$，因此使用$x < a$对应的表达式，不要搞反。
Common Pitfalls
Why: 学生将函数在a处无定义和极限在a处不存在混淆。0/0是未定式，不是最终结论。
Why: 学生将$x \to a$的极限和函数在a处的函数值混淆。
Why: 学生忘记0/0是未定式，而非零/零不存在有限极限。
Why: 学生混淆了共轭式中符号改变的位置。
Why: 学生混淆了左右极限的符号。