在一点处连续性的定义 — AP 微积分 BC
1. 连续性的三部分定义 ★☆☆☆☆ ⏱ 10 min
直观来说，如果画函数图像时经过该点不需要抬笔，函数就在该点连续。从形式上，这个直观概念转化为三个必要条件，你在AP考试中所有连续性判断都会用到它们。
Exam tip: AP自由问答题要求你在证明连续性时明确引用全部三个条件。
2. 用代数方法判断连续性 ★★☆☆☆ ⏱ 15 min
分段函数是代数判断连续性最常见的场景，因为你需要比较分界点两侧的单侧极限来确认双侧极限存在。
3. 间断类型的分类 ★★☆☆☆ ⏱ 12 min
任何在某点不满足连续性检验的函数都在该点间断。根据双侧极限是否存在，间断可分为可去间断和不可去间断两类。
- **可去间断**：极限存在，间断由点无定义或函数值不匹配导致（在图像上表现为一个洞）
- **跳跃间断**：不可去；单侧极限都存在但不相等，图像在两个值之间跳跃
- **无穷间断**：不可去；一侧或双侧极限趋近于$\pm \infty$，通常由垂直渐近线导致
- **振荡间断**：不可去；函数在该点附近振荡，没有确定的极限
4. 连续性与AP考试应用 ★★☆☆☆ ⏱ 10 min
一点处连续性的定义是AP微积分中几乎所有重要定理的基础。例如，介值定理（IVT）仅适用于在闭区间上每一点都连续的函数。
Common Pitfalls
Why: 你仍然需要确认极限存在，且极限等于函数值
Why: 无穷间断的双侧极限不存在，因此不可能是可去间断
Why: 很多分段函数设计为在分界点连续
Why: 端点处的单侧连续性满足区间连续性对连续的要求