验证区间上的连续性 — AP 微积分 BC
AP 微积分 BC · AP 微积分 BC CED 第一单元：极限与连续性 · 14 min read
1. 区间上连续性的定义 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
若区间内的每一点都满足点连续的三个条件，则函数在该区间上连续：$f(c)$ 有定义，$\lim_{x \to c} f(x)$ 存在，且 $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。该知识点占AP微积分BC考试总分的3-6%，是介值定理、可微性、积分等核心概念的基础证明步骤。
2. 开区间上基本函数的连续性 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
基本函数（多项式、有理函数、三角函数、指数函数、对数函数和根式函数）有一个关键的简化性质：所有基本函数在其定义域内的每一点都连续。该结论直接来自极限运算法则，因此你不需要逐个检查区间内的每一点。
要验证基本函数在开区间上的连续性，你只需要确认整个区间都包含在函数的定义域内。如果区间内没有排除点（除零、负被开方数、非正对数真数），则函数在整个区间上连续。
3. 带端点的闭区间上的连续性 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
对于闭区间 $[a,b]$，端点处不存在双侧极限，因为我们只考虑区间上的函数。$[a,b]$ 上连续性的完整定义要求三个条件：
- $f$ is continuous at every point in the open interval $(a,b)$
- $f$ is right-continuous at the left endpoint $a$: $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
- $f$ is left-continuous at the right endpoint $b$: $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$
该要求在AP自由问答题中会被明确考查，最常见于证明介值定理的使用条件。跳过端点单侧连续性检查会丢失证明分。
4. 分段函数在区间上的连续性 ★★★★☆ ⏱ 5 min
分段函数在不同子区间使用不同表达式，因此区间内仅有的可能间断点是分段点（表达式发生变化的点）。要验证包含分段点的区间的连续性，请遵循以下步骤：
- 确认每个分段在其开子区间上连续（几乎所有情况下每个分段都是基本函数，因此只需检查每个分段的定义域）
- 检查区间内所有分段点的三个连续性条件：用左分段计算左极限，右分段计算右极限，并确认两者都等于分段点处的 $f(c)$
- 如果区间是闭区间，按常规验证整个区间端点的单侧连续性
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了化简后的形式和原函数的定义域；任何不在原定义域内的点都是间断点，和约分无关。
Why: 当我们只考虑区间上的函数时，端点处不存在双侧极限。
Why: 学生错误认为函数在分段点附近处处使用同一个表达式，而不是在分段点切换表达式。
Why: 学生忘记 $x=0$ 不在 $\ln(x)$ 的定义域内，因此端点条件不满足。
Why: 学生不考虑内层函数在区间上的输出范围，直接检查外层函数的所有间断点。
Quick Reference Cheatsheet