通过积分求位置、速度与加速度 — AP 微积分 AB
1. 利用初始条件还原速度与位置 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
我们从你已经了解的基本导数关系开始：速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。积分是微分的逆运算，因此我们可以对加速度积分得到速度，再对速度积分得到位置，利用初始条件求解未知的积分常数。
v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt}
v(t) = \int a(t) dt + C \\ s(t) = \int v(t) dt + D
Exam tip: 两次积分时一定要分别标记常数$C$和$D$，得到所需初始条件后立刻求解对应常数。不要等到最后再一起求解两个常数，这通常会导致代入错误。
2. 净位移 vs 总路程 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
得到速度函数$v(t)$后，你可以计算区间$[a,b]$上两个容易在AP考试中混淆的不同物理量。净位移是区间起点到终点位置的净变化，考虑运动方向；而总路程是走过的路径总长度，与方向无关。
计算总路程时，所有运动都计为正值，因此我们对速度的绝对值积分。首先找出$[a,b]$内所有满足$v(t)=0$的点（方向改变点），在这些点拆分积分，对$v(t)$为负的区间调整符号，再将结果相加。
\text{Net Displacement} = \int_a^b v(t) dt
\text{Total Distance Traveled} = \int_a^b |v(t)| dt
Exam tip: 永远要验证总路程大于等于净位移的绝对值，如果你的计算结果相反，说明拆分积分时符号出错了。
3. 利用微积分基本定理求某点的函数值 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中一种常见题型是：给定初始值，求特定时间的速度或位置，不需要完整的函数表达式。这种情况下你可以直接使用微积分基本定理，无需求解积分常数，节省时间同时减少错误。
v(b) = v(a) + \int_a^b a(t) dt \\ s(b) = s(a) + \int_a^b v(t) dt
Exam tip: 如果题目只要求特定时间的速度/位置值，跳过求完整函数的步骤，直接使用微积分基本定理的形式，可以在考试中节省1–2分钟。
4. 概念检查 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生记得在$v(t)$的零点拆分积分，但不检查符号就直接去掉绝对值，默认所有区间都满足$|v(t)|=v(t)$。
Why: 学生混淆了常数，两次积分都用同一个$C$，只求解一次，不在第二次积分后求解新的常数。
Why: 学生混淆了净位移和总路程，尤其是对新手来说，问题问'质点运动了多远'看起来可能模棱两可。
Why: 学生自动求解所有根并在所有根处拆分，即使根在区间外，导致多余不必要的子区间和计算错误。
Why: 学生混淆了哪个初始条件对应哪一步积分。