绕x轴或y轴旋转的圆盘法 — AP 微积分 AB
1. 什么是圆盘法？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
圆盘法（两种拼写disk/disc在AP考试中均被接受）是积分学中用于求旋转体体积的方法：旋转体是由曲线围成的二维区域绕水平或竖直轴旋转得到的三维立体。
该方法得名于我们用来近似立体总体积的薄圆形圆盘状横截面，类似于用细矩形近似曲线下的面积。
2. 绕x轴旋转的圆盘法 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
当$y = f(x)$上方、x轴下方、$x=a$和$x=b$之间的区域绕x轴旋转时，我们垂直于旋转轴切片。x轴是水平的，因此垂直切片是竖直的，厚度为$dx$。对于$a$和$b$之间的任意$x$，该位置圆盘的半径是x轴到曲线的垂直距离：$r = f(x)$。
V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx
这个公式直接来自黎曼和：当切片数趋近于无穷大时，所有单个圆盘体积的和就变成了定积分。该方法仅适用于区域与旋转轴相邻、区域和轴之间没有间隙的情况。圆盘法就是内半径为0的垫圈法的特殊情况。
Exam tip: 积分前一定要对整个半径平方，而不是只对变量项平方。一个常见错误是将$(2\sqrt{x})^2$写成$2x$而不是$4x$，漏掉了常数系数的平方。
3. 绕y轴旋转的圆盘法 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
绕竖直y轴旋转时，我们垂直于旋转轴切片，因此切片是水平的，厚度为$dy$。这意味着我们必须将半径表示为y的函数（而非x的函数），并对y积分。
V = \pi \int_c^d \left[g(y)\right]^2 dy
对于由$x = g(y)$在右、y轴在左、$y = c$和$y = d$之间围成的区域，每个圆盘的半径是y轴到曲线的水平垂直距离，因此$r = g(y)$。与绕x轴旋转的唯一关键区别是，在列积分前需要将原函数整理为x关于y的表达式。
Exam tip: 绕y轴旋转时，请再次检查你是对y积分，而不是对x积分。即使你的所有算术都正确，绕y轴旋转时对dx积分也一定会得到错误结果。
4. 绕平移轴旋转的圆盘法 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
圆盘法适用于任意水平或竖直旋转轴，不仅限于x轴（$y=0$）或y轴（$x=0$）。核心原则始终不变：半径$r$始终是曲线与旋转轴之间的垂直距离。
对于水平旋转轴$y = k$，我们仍然对x积分，半径为$r = |f(x) - k|$。平方会消除符号，因此$r^2 = (f(x) - k)^2$。对于竖直旋转轴$x = h$，我们对y积分，$r^2 = (g(y) - h)^2$。
Exam tip: 当轴平移到x轴下方或y轴右侧时，距离会增大，因此计算半径时不要忘记加上平移量。
5. AP风格练习 ★★★★☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生习惯了绕x轴旋转时对dx积分，绕y轴旋转时忘记换变量
Why: 学生求平方时太匆忙，只对变量项平方，忘记对常数系数平方
Why: 学生记住了绕x轴旋转时$r = f(x)$，没有对平移轴调整公式
Why: 学生混淆了圆盘法（适用于与轴相邻的区域）和垫圈法（适用于有间隙的区域）
Why: 学生直接抄题目给的区间，没有检查区间对应哪个变量