相交超过两次的曲线间的面积 — AP 微积分 AB
1. 核心概念：多交点下的面积计算 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
当两条曲线的交点超过两个时，上下曲线的位置会在相邻交点之间互换。与只有两个交点的情况不同，你必须将最左交点到最右交点之间的整个区间分割为多个子区间，每个子区间内一条曲线始终保持在另一条上方。本主题属于第8单元，占AP微积分AB考试总分的10-15%，会出现在选择题和自由问答题中。
2. 寻找并排序所有交点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
多交点面积问题的第一个关键步骤是求出$f(x) = g(x)$的所有解，然后按$x$从小到大排序。哪怕只漏掉一个交点，都会导致区间分割错误，最终面积结果错误。一定要先整理方程为$f(x) - g(x) = 0$，然后对结果因式分解（AP AB中最常见的是多项式）来找到所有根。分解前千万不要除以$x$这类变量项，这会消去$x=0$这个根，而它是很常见的交点。
Exam tip: 求根前一定要先提出公变量项，这样才能抓住多数学生因提前除$x$而漏掉的$x=0$交点。
3. 确定每个子区间的上下曲线 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
将交点排序得到$x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n$后，最左交点$x_0$到最右交点$x_n$之间的整个区间会被分割为$n$个子区间: $[x_0, x_1], [x_1, x_2], ..., [x_{n-1}, x_n]$。在两个相邻交点之间，整个子区间内总有一条曲线严格在另一条上方。要确认哪条是上曲线哪条是下曲线，在子区间内任选一个测试$x$值，计算$f(x) - g(x)$。如果差值为正，则$f(x)$是上曲线；如果差值为负，则$g(x)$是上曲线。虽然多项式在每个交点后通常会交替上下位置，但对于非多项式或有重根的函数这并不一定成立，因此测试总是必要的。
Exam tip: 如果你有图形计算器，可以绘图来验证测试结果，但在FRQ中一定要写出测试步骤，才能拿到建立积分的全部分数。
4. 建立并计算总面积 ★★★☆☆ ⏱ 6 min
两条曲线之间的总面积总是正数，因为它测量的是曲线之间的实际空间，不是净符号面积。要得到每个子区间的正面积，你只需要在每个子区间对（上函数减下函数）积分，然后把结果相加。总面积的通用公式是：
\text{Total Area} = \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} \left( \text{upper}(x) - \text{lower}(x) \right) dx = \int_{x_0}^{x_n} |f(x) - g(x)| dx
第二个公式中的绝对值保证了结果为正，在交点处分区间可以让我们通过正确排序差值来去掉绝对值，让积分变得简单。对于AP微积分AB，建立积分之后，你只需要应用幂法则和微积分基本定理计算每个积分，再把结果相加即可。
Exam tip: 在FRQ中，正确的积分建立就能拿到全部分数，哪怕还没有计算结果，所以优先保证积分和正确，不要急着算出最终结果。
Common Pitfalls
Why: 急于化简会消去$x=0$这个根，导致交点数量少于实际需要。
Why: 混淆了净符号面积和总面积；位置互换后产生的负面积会抵消正面积，导致最终结果偏小。
Why: 非多项式或有重根的函数不会交替，会导致上下曲线分配错误。
Why: 差值符号错误会导致面积贡献为负，最终总面积偏小。
Why: 对总有界面积的误解会导致重复计数或包含无界面积。