表示为x函数的曲线间面积 — AP 微积分 AB
1. 曲线间面积的核心定义 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
曲线$y=f(x)$与$y=g(x)$在竖直线$x=a$和$x=b$之间围成区域的总面积恒为正。该知识点占AP微积分AB考试总分的7-10%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。与单曲线下的净面积（x轴下方的面积记为负值）不同，根据定义，两曲线间的面积始终为正。我们用宽度为$\Delta x$的竖条近似面积，再对黎曼和取极限得到定积分。
2. 固定区间的基本面积公式 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
当一个函数在整个区间$[a,b]$上始终在另一个函数上方时，每个竖条的高度就是上函数y值减去下函数y值的差。对这些面积求和得到黎曼和，取极限后即为定积分：
A = \int_a^b \left[ f_{\text{upper}}(x) - g_{\text{lower}}(x) \right] dx
x轴本身就是曲线$y=0$，因此曲线与x轴之间的面积就是这个通用公式的特例。
Exam tip: 如果AP题目要求“仅建立积分不计算”，写完积分表达式后就停止，不要浪费时间做多余计算。
3. 由交点求积分区间 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
很多AP题目不会给出明确的区间$[a,b]$，而是要求两曲线围成区域的面积。这种情况下，区间边界就是两曲线交点的x坐标。解方程$f(x) = g(x)$后，对解排序得到下限$a$（最小的x）和上限$b$（最大的x）。一定要确认交点之间区间上哪个是上函数，不要根据首项系数或其他一般性质直接假设。
Exam tip: 求解交点时一定要检查增根，遇到含平方根或有理函数的情况尤其要注意。将解用作区间边界前，一定要在两个原函数中验证。
4. 上下边界变化的区域 ★★★★☆ ⏱ 4 min
如果两曲线在感兴趣区间内相交超过一次，上下函数的顺序会在相邻交点之间交换。我们不能对整个区间只用一个积分，因为一个子区间的负面积会抵消另一个子区间的正面积，得到错误的最终结果。正确做法是将所有交点按x排序，把原区间分割为上下顺序不变的子区间，分别计算每个子区间的面积，再相加得到结果。
Exam tip: 对多个子区间的面积求和时，一定要把所有结果相加，不要相减，因为每个积分本身已经得到对应子区间的正面积。
Common Pitfalls
Why: 学生搞反了区间顺序，忘记面积必须始终为正。
Why: 学生忘记上下交换会改变被积函数的符号，导致正负面积错误抵消。
Why: 学生急于建立积分，没有检查区间内哪个函数是上函数。
Why: 学生混淆了“求完全围成区域的面积”和“求两条给定竖线之间的面积”两类问题。
Why: 学生忘记x轴就是曲线$y=0$，当$f(x)$为负时，x轴就是上函数。