可分离变量法求通解 — AP 微积分 AB
1. 识别可分离变量的一阶微分方程 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
应用变量分离法前，你必须先确认微分方程是可分离的。很多微分方程乍看不可分离，但可以通过指数法则（例如$e^{x+y} = e^x e^y$）或因式分解改写为要求的乘积形式。AP微积分AB仅要求你用该方法求解可分离微分方程。
Exam tip: 如果你的微分方程是项的和，检查能否从整个和中提取出公有的$x$项或$y$项，得到乘积形式。如果不能，在AP微积分AB的考察范围内该方程不可分离。
2. 变量分离法分步讲解 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
通解是满足一阶微分方程的所有函数构成的集合，包含一个任意常数来表示所有可能的解。确认微分方程可分离后，遵循以下统一流程：
- 从可分离形式$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$出发
- 分离变量：将所有含$y$的项（包括$dy$）移到左侧，所有含$x$的项（包括$dx$）移到右侧，得到$\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx$（该式在$h(y) \neq 0$时成立）
- 两边积分：左侧对$y$积分，右侧对$x$积分。仅添加一个任意常数（两个常数的差仍是一个常数）
- 如果可以，显式解出$y$得到最终通解；如果无法得到显式形式，则保留隐式解
Exam tip: 你可以随时重命名任意常数来化简最终解——只要能明确看出它是任意常数，AP阅卷老师接受任何合法的常数命名。
3. 化简含对数的通解 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
可分离微分方程中非常常见的一种情况（尤其是指数增长/衰减和冷却问题）会在$y$侧得到对数原函数，需要特殊化简。对于常见形式$\frac{dy}{dx} = ky$，分离变量后得到$\frac{1}{y} dy = k dx$，积分后得到$\ln|y| = kx + C$。
要得到显式解，两边取指数：$|y| = e^{kx + C} = e^C e^{kx}$。我们将绝对值和常数$e^C$吸收到新的任意常数$K = \pm e^C$中，得到$y = K e^{kx}$。允许$K=0$还可以包含我们之前除以$y$时漏掉的平凡解$y=0$。
Exam tip: 当你得到$\ln|y| = f(x) + C$时，记住$e^{f(x) + C} = e^C e^{f(x)}$，而不是$e^{f(x)} + C$——这是AP考试中学生最常犯的错误之一。
4. 概念检测 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生错误应用指数法则，忘记指数相加对应底数相乘，不是相加。
Why: 学生被教导每个不定积分都要加常数，因此他们两边各加一个，不进行合并。
Why: 学生分离变量后混淆微分，忘记哪个变量对应哪个积分。
Why: 学生混淆加法和乘法，错误地尝试分离不可分离微分方程。
Why: 学生把原函数记成$\ln y$，省略了绝对值。