累积函数的性质分析

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 积分与变化的累积· 14 分钟阅读

1. 什么是累积函数？★★☆☆☆⏱ 2 min

累积函数是形如 $F (x) = \int_{a}^{g (x)} f (t) d t$ 的函数，其中 $a$ 是常数， $g (x)$ 是变上限或变下限积分限。与显式代数函数不同，累积函数的输出随积分限变化，由 $f (t)$ 下方的净面积累积得到。

在AP微积分AB考试中，该知识点占第6单元约12%的分值，会同时出现在选择题和自由作答题中。自由作答题常将该知识点结合流量、人口增长等实际场景，要求考生分析函数性质而非仅进行计算。

📘 定义

累积函数

由至少一个变积分限的定积分定义的函数，函数值等于被积函数在积分限之间的净累积面积

例:

$F (x) = \int_{2}^{x} sin (t^{2}) d t$ 是一个简单的累积函数

2. 利用拓展微积分基本定理对累积函数求导★★☆☆☆⏱ 4 min

要分析任何函数的性质，首先需要得到其一阶导数。对于累积函数，拓展后的第一微积分基本定理（FTC第一部分）可以让你直接求出导数，无需先计算积分。

基础情况（下限为常数，上限 $x$ ）：若 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，则 $F^{'} (x) = f (x)$
变上限 $g (x)$ ：加上链式法则： $F^{'} (x) = f (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
变下限，上限为常数：交换积分限并添加负号： $F (x) = \int_{h (x)}^{a} f (t) d t = - \int_{a}^{h (x)} f (t) d t$ ，所以 $F^{'} (x) = - f (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
一般情况（上下限都是变量）： $F^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x) - f (h (x)) h^{'} (x)$

📐 例题

求 $F (x) = \int_{x^{2}}^{3 x} cos (t^{2}) d t$ 的导数

1
应用双变限的一般求导法则： $F^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x) - f (h (x)) h^{'} (x)$ ，其中上限 $g (x) = 3 x$ ，下限 $h (x) = x^{2}$ ，被积函数 $f (t) = cos (t^{2})$ 。
2
代入求出 $f (g (x))$ ：
3
$f(3x) = \cos\left((3x)^2\right) = \cos(9x^2)$
4
计算得 $g^{'} (x) = 3$ ，因此第一项为 $3 cos (9 x^{2})$ 。
5
求出 $f (h (x))$ 和 $h^{'} (x)$ ：
6
$f(x^2) = \cos\left((x^2)^2\right) = \cos(x^4), \quad h'(x) = 2x$
7
合并各项得到最终结果：
8
$F'(x) = 3\cos(9x^2) - 2x\cos(x^4)$

3. 确定增减区间与极值★★★☆☆⏱ 4 min

得到 $F (x)$ 的一阶导数后，你就可以使用分析任何其他函数性质的相同规则： $F (x)$ 在 $F^{'} (x) > 0$ 的区间上递增，在 $F^{'} (x) < 0$ 的区间上递减。临界点出现在 $F^{'} (x) = 0$ 或 $F^{'} (x)$ 无定义处，你可以用一阶或二阶导数测试分类极值。

累积函数的一个关键特点是 $F^{'} (x)$ 可以直接用被积函数 $f$ 表示。这意味着你不需要 $F (x)$ 的显式表达式，就可以直接从 $f (t)$ 的图像或表格中读出 $F^{'} (x)$ 的符号，这是AP考试中非常常见的出题形式。

📐 例题

设连续函数 $f (t)$ 与 $t$ 轴之间的带符号面积如下： $t = 0$ 到 $t = 2$ （轴上方）面积为 $1.2$ ， $t = 2$ 到 $t = 5$ （轴下方）面积为 $3.5$ ， $t = 5$ 到 $t = 7$ （轴上方）面积为 $2.1$ 。令 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，求 $F (x)$ 在 $[0, 7]$ 上的绝对最大值。

1
根据微积分基本定理， $F^{'} (x) = f (x)$ ，因此 $F^{'} (x)$ 的符号与 $f (x)$ 的符号一致。 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 和 $(5, 7)$ 上为正，在 $(2, 5)$ 上为负。
2
这说明 $F (x)$ 在 $x = 0$ 到 $x = 2$ 递增， $x = 2$ 到 $x = 5$ 递减， $x = 5$ 到 $x = 7$ 再次递增。
3
在临界点和端点计算 $F (x)$ 的值：
4
$F(0) = 0, \quad F(2) = 1.2, \quad F(5) = 1.2 - 3.5 = -2.3, \quad F(7) = -2.3 + 2.1 = -0.2$
5
比较所有值，最大的是 $F (2) = 1.2$ ，因此这就是区间上的绝对最大值。

4. 求累积函数的凹凸性和拐点★★★☆☆⏱ 3 min

要找凹凸性，需要 $F (x)$ 的二阶导数。对于常见情况 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，我们已经知道 $F^{'} (x) = f (x)$ ，因此再次求导得 $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ 。这说明 $F (x)$ 的凹凸性直接取决于被积函数 $f$ 的斜率。

$F (x)$ 的拐点出现在 $F^{''} (x)$ 变号的位置。对于上述简单累积函数，这等价于 $f^{'} (x)$ 变号的位置，也就是说 $F (x)$ 的拐点恰好出现在 $f$ 的极值点处。这是AP考试选择题中最常考的概念之一。

📐 例题

连续函数 $f$ 在 $(- \infty, 1)$ 上递增，在 $(1, 4)$ 上递减，在 $(4, \infty)$ 上递增。令 $F (x) = \int_{2}^{x} f (t) d t$ ，写出 $F (x)$ 所有拐点的 $x$ 坐标。

1
对于 $F (x) = \int_{2}^{x} f (t) d t$ ， $F^{'} (x) = f (x)$ ，因此 $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ 。
2
$F$ 的拐点出现在 $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ 变号的位置。当 $f$ 从递增变为递减，或从递减变为递增时， $f^{'} (x)$ 变号。
3
$f$ 在 $x = 1$ 处从递增变为递减，因此 $f^{'} (x)$ 在此处从正变负，即 $F^{''} (x)$ 在 $x = 1$ 处变号。
4
$f$ 在 $x = 4$ 处从递减变为递增，因此 $f^{'} (x)$ 在此处从负变正，即 $F^{''} (x)$ 在 $x = 4$ 处变号。
5
因此， $F (x)$ 的拐点在 $x = 1$ 和 $x = 4$ 处。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

设 $F (x) = \int_{1}^{x^{3}} ln (t^{2}) d t$ ，定义域为所有 $x \neq = 0$ 。 $F^{'} (x) = 0$ 在哪些 $x$ 处成立？
- A) 仅 $x = 1$
- B) 仅 $x = - 1$
- C) 仅 $x = 1$ 和 $x = - 1$
- D) $x = 1$ 、 $x = - 1$ 和 $x = 0$
显示答案
C —
应用微积分基本定理和链式法则得 $F^{'} (x) = 18 x^{2} ln ∣ x ∣$ 。令其等于零，仅得到解 $x = 1$ 和 $x = - 1$ ，因为定义域中 $x \neq = 0$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于 $F (x) = \int_{a}^{g (x)} f (t) d t$ ，写出 $F^{'} (x) = f (g (x))$ ，遗漏链式法则项 $g^{'} (x)$

原因:

考生记住了上限为 $x$ 的基础结论（此时 $g^{'} (x) = 1$ ，该项被隐藏），在上限为非线性函数时忘记添加该项。

正确做法:

始终显式写出链式法则项，即使它等于1，以确保你没有遗漏。

错误做法:

对于 $F (x) = \int_{g (x)}^{a} f (t) d t$ ，写出 $F^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x)$ ，遗漏交换积分限带来的负号

原因:

考生只记住了上限求导规则，忘记交换积分顺序会改变符号。

正确做法:

求导前始终先将变限改写变到上限位置，显式添加负号。

错误做法:

将 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 的拐点认作 $f (x)$ 的 $x$ 截距

原因:

考生混淆了 $F^{'} (x) = 0$ （ $F$ 的临界点）和 $F^{''} (x) = 0$ （ $F$ 的拐点）的位置。

正确做法:

对于任何累积函数，在确定临界点或拐点之前，始终先显式写出用 $f$ 表示的 $F^{'}$ 和 $F^{''}$ 。

错误做法:

声称 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 在 $[a, b]$ 上的最大值出现在 $f (x)$ 最后一次由正变负的点，不检查端点值

原因:

考生假设函数递减后永远不会回到之前的最大值，但不用实际值验证。

正确做法:

始终在所有临界点和两个端点计算 $F (x)$ 的值，然后比较得到绝对最大值/最小值。

错误做法:

对于 $F (x) = \int_{h (x)}^{g (x)} f (t) d t$ ，写出 $F^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x) + f (h (x)) h^{'} (x)$

原因:

考生记错了一般规则，对下限项用了加号而不是减号。

正确做法:

每次都通过拆分积分从头推导规则： $\int_{h (x)}^{g (x)} f (t) d t = \int_{a}^{g (x)} f (t) d t - \int_{a}^{h (x)} f (t) d t$ ，因此第二个负项的导数带来减号。

6. 速查表

类别	公式/法则	注释
基础累积函数求导	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$	$a$ 为常数，对所有连续 $f$ 都成立
变上限（链式法则）	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$	永远乘以上限的导数
变下限	$\frac{d}{d x} \int_{h (x)}^{a} f (t) d t = - f (h (x)) h^{'} (x)$	求导前交换积分限得到负号
一般双变限	$\frac{d}{d x} \int_{h (x)}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x) - f (h (x)) h^{'} (x)$	拆分为两个从常数 $a$ 出发的积分推导
$F (x)$ 的增减性	$F ↑$ if $F^{'} (x) > 0$ , $F ↓$ if $F^{'} (x) < 0$	对于 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，与 $f (x)$ 的符号一致
$F (x)$ 的极值	临界点在 $F^{'} (x) = 0$ 或无定义处；绝对极值在临界点或端点处	对于简单累积函数，临界点在 $f$ 的 $x$ 截距处
$F (x)$ 的凹凸性	$F$ 凹向上 if $F^{''} (x) > 0$ , 凹向下 if $F^{''} (x) < 0$	对于 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ， $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ ，因此取决于 $f$ 的斜率
$F (x)$ 的拐点	出现在 $F^{''} (x)$ 变号处	对于简单累积函数，拐点在 $f$ 的极值点处

下一步

掌握累积函数性质分析是AP微积分AB后续多个高分值知识点的基础前提。接下来你会把这个知识点应用到可分离变量微分方程求解和指数增长衰减建模中，在这些内容中会用速率函数的累积推导通解。这个知识点也直接为函数平均值和两条曲线间的面积概念打下基础，在这些内容中你会用到对累积函数求导和分析的能力解决面积相关的优化问题。如果你不扎实掌握如何将累积函数的性质与被积函数的图像或值联系起来，你会很难学习这些更偏向应用的知识点，而这些知识点经常出现在AP考试的自由作答题部分。