累积函数的性质分析 — AP 微积分 AB
1. 什么是累积函数？ ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
累积函数是形如 $F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(t) dt$ 的函数，其中 $a$ 是常数，$g(x)$ 是变上限或变下限积分限。与显式代数函数不同，累积函数的输出随积分限变化，由 $f(t)$ 下方的净面积累积得到。
在AP微积分AB考试中，该知识点占第6单元约12%的分值，会同时出现在选择题和自由作答题中。自由作答题常将该知识点结合流量、人口增长等实际场景，要求考生分析函数性质而非仅进行计算。
2. 利用拓展微积分基本定理对累积函数求导 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
要分析任何函数的性质，首先需要得到其一阶导数。对于累积函数，拓展后的第一微积分基本定理（FTC第一部分）可以让你直接求出导数，无需先计算积分。
- 基础情况（下限为常数，上限 $x$）：若 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$
- 变上限 $g(x)$：加上链式法则：$F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)$
- 变下限，上限为常数：交换积分限并添加负号：$F(x) = \int_{h(x)}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{h(x)} f(t) dt$，所以 $F'(x) = -f(h(x)) \cdot h'(x)$
- 一般情况（上下限都是变量）：$F'(x) = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$
3. 确定增减区间与极值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
得到 $F(x)$ 的一阶导数后，你就可以使用分析任何其他函数性质的相同规则：$F(x)$ 在 $F'(x) > 0$ 的区间上递增，在 $F'(x) < 0$ 的区间上递减。临界点出现在 $F'(x) = 0$ 或 $F'(x)$ 无定义处，你可以用一阶或二阶导数测试分类极值。
累积函数的一个关键特点是 $F'(x)$ 可以直接用被积函数 $f$ 表示。这意味着你不需要 $F(x)$ 的显式表达式，就可以直接从 $f(t)$ 的图像或表格中读出 $F'(x)$ 的符号，这是AP考试中非常常见的出题形式。
4. 求累积函数的凹凸性和拐点 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
要找凹凸性，需要 $F(x)$ 的二阶导数。对于常见情况 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，我们已经知道 $F'(x) = f(x)$，因此再次求导得 $F''(x) = f'(x)$。这说明 $F(x)$ 的凹凸性直接取决于被积函数 $f$ 的斜率。
$F(x)$ 的拐点出现在 $F''(x)$ 变号的位置。对于上述简单累积函数，这等价于 $f'(x)$ 变号的位置，也就是说 $F(x)$ 的拐点恰好出现在 $f$ 的极值点处。这是AP考试选择题中最常考的概念之一。
Common Pitfalls
Why: 考生记住了上限为$x$的基础结论（此时 $g'(x)=1$，该项被隐藏），在上限为非线性函数时忘记添加该项。
Why: 考生只记住了上限求导规则，忘记交换积分顺序会改变符号。
Why: 考生混淆了 $F'(x) = 0$（$F$的临界点）和 $F''(x) = 0$（$F$的拐点）的位置。
Why: 考生假设函数递减后永远不会回到之前的最大值，但不用实际值验证。
Why: 考生记错了一般规则，对下限项用了加号而不是减号。