多项式长除法与配方法积分 — AP 微积分 AB
1. 利用长除法对假有理函数积分 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
对于有理函数 $f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$，若分子$N(x)$的次数大于或等于分母$D(x)$的次数，则称该函数为假有理函数。假有理函数无法直接用基本规则积分，因此我们需要用多项式长除法将其改写为可积分的形式。
\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}, \quad \deg(R(x)) < \deg(D(x))
其中$Q(x)$是商多项式，$R(x)$是余式。根据积分的线性性，我们可以用你已经掌握的规则分别对每一项积分。
2. 不可约二次式的配方法 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
当遇到分母为二次式的真有理函数时，首先计算判别式$b^2 - 4ac$。若判别式为负，则该二次式不可约（无法在实数范围内因式分解），因此我们使用配方法将其改写为反正切原函数的形式。
- 将首项系数$a$从前两项中提出：$a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$
- 在括号内加上再减去$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$：$a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c$
- 化简常数项：$a(x+h)^2 + k$，其中$h = \frac{b}{2a}$，$k = c - \frac{b^2}{4a}$
\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C
3. 定积分的计算 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中该主题的大多数题目都要求计算定积分，定积分计算需要结合上述代数预处理和微积分基本定理第二部分（FTC 2）：$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的任意一个原函数。一定要确认被积函数在整个积分区间上连续。
4. AP风格概念检测 ★★★★☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生不检查形式就急于积分，误以为所有有理函数都可以用u换元法求解
Why: 学生把括号内减去的常数移到括号外时，忘记乘首项系数
Why: 学生没有让分子匹配分母的导数，导致积分无法求解
Why: 学生混淆了反正切的求导和积分规则
Why: 学生在考场上匆忙答题，记错了减法顺序