换元积分法（u换元） — AP 微积分 AB
1. 什么是换元积分法（u换元）？ ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
换元积分法（通常简称为u换元）是AP微积分AB中核心的高级积分技巧，设计它的目的就是逆转求导中的链式法则。根据AP CED，该知识点占第6单元分值的10-15%，在每次完整AP考试中，你会遇到2-3道需要使用u换元的单选题，以及至少一道自由作答题小问需要使用u换元。
该方法通过引入新变量$u$（通常选复合函数的内层函数作为u），改写复合函数的复杂积分，将你不熟悉的积分转化为你已经会解的基础积分。
2. 不定积分的u换元法 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
u换元逆转链式法则关系。对于复合函数 $f(x) = g(h(x))$，链式法则给出：
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
对于形式为 $\int g'(h(x)) \cdot h'(x) dx$ 的积分，令 $u = h(x)$，所以 $du = h'(x) dx$。代入后得到：
\int g'(u) du = g(u) + C = g(h(x)) + C
如果只差一个常数系数，你可以整理微分，将倒数常数提出积分来调整。AP微积分AB不要求非常数调整。
Exam tip: 不定积分一定要代回原变量 $x$。如果正确的原函数保留 $u$ 的形式，AP阅卷人会扣除全部分数。
3. 定积分的u换元法（换限） ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
对于定积分，你可以积分后代回 $x$，也可以将积分限换成对应 $u$ 的值，这样就完全不需要代回了。在AP考试中，换限法更快，也更不容易出错，因此推荐使用这个方法。
对于 $\int_{x=a}^{x=b} f(h(x)) h'(x) dx$ 换限时，令 $u = h(x)$ 后，$u$ 的下限为 $u = h(a)$，上限为 $u = h(b)$，积分变为：
\int_{h(a)}^{h(b)} f(u) du
你可以直接对 $u$ 积分并计算结果，不需要代回。这个方法在AP单选题中特别常用，因为单选题只需要最终数值结果。
Exam tip: 令 $u$ 后立刻写下新的u限，再改写积分。这可以避免对 $u$ 积分时不小心使用原x限的常见错误。
4. 非线性内层函数的u选择策略 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中大多数u换元题都使用非线性内层函数，因此有统一的选u策略非常重要。AP微积分AB最重要的经验法则是：如果被积函数中存在某个函数及其导数（只差常数倍），那么这个函数就是你的 $u$。
AP AB常考的常见非线性内层函数包括三角函数的幂、对数、根号下的多项式和指数函数。如果你最后得到 $du$ 需要非恒定的 $x$ 项，那你几乎肯定选错了 $u$。
Exam tip: 永远不要为了缺失的常数因子修改 $u$。只需整理微分得到正确倍数的 $du$，然后将常数提出积分即可。为常数修改 $u$ 总会带来不必要的错误。
Common Pitfalls
Why: 学生习惯了定积分的换限法，忘记不定积分需要用原变量表示结果
Why: 学生赶时间跳过计算新限的步骤，或者忘记积分变量已经改变
Why: 学生记住了"选复杂部分"，但错误识别了哪一部分是内层复合函数
Why: 学生整理微分方程时代数运算出错
Why: 学生赶时间过早加上$C$，错误地把它当成变量处理