微积分基本定理与累积函数 — AP 微积分 AB
AP 微积分 AB · 积分与变化的累积 · 14 min read
1. 累积函数 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
累积函数是指，其值等于从固定起始限到可变输入点，在另一个函数下方累积的净带符号面积的函数。其标准形式为：
A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt
此处，$a$ 是固定常数，$f$ 在包含 $a$ 和 $x$ 的区间上连续，$t$ 是哑变量：它只是一个占位符，不会出现在 $A(x)$ 的最终结果中。常见变形包括可变下限或双可变限，这类情况可以利用性质 $\int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$ 改写。
2. FTC 第一部分：累积函数的导数 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
微积分基本定理（FTC）第一部分明确了积分与求导之间的互逆关系，给出了累积函数的求导方法。该定理的基本表述为：
针对AP考试，我们结合链式法则将该规则推广到可变限的情况，得到三种常见情形：
- If $A(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) dt$, then $A'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$
- If $A(x) = \int_{v(x)}^{a} f(t) dt$, then $A'(x) = -f(v(x)) \cdot v'(x)$
- If $A(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt$, then $A'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$
3. FTC 第二部分：定积分的计算 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
微积分基本定理第二部分给出了利用原函数计算定积分精确值的方法，无需用黎曼和近似。其正式表述为：
该定理成立的一个关键要求是 $f$ 在整个区间 $[a,b]$ 上连续——如果被积函数在区间内部存在间断点，定理不适用。
4. AP 风格练习题 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生忘记上限是 $x$ 的函数，因此跳过了链式法则步骤。
Why: 学生忘记翻转积分限会引入负号。
Why: 学生记忆微积分基本定理第二部分时搞混了减法顺序。
Why: 学生习惯重复使用输出变量，导致求导时出现混淆。
Why: 学生忘记微积分基本定理仅适用于被积函数在整个区间上连续的情况；$\frac{1}{x^2}$ 在区间 $[-1,2]$ 内部的 $x=0$ 处有无穷间断点。
Why: 学生将常数定积分与含可变限的累积函数混淆。
Quick Reference Cheatsheet