微积分基本定理与定积分（AP微积分AB） — AP 微积分 AB
1. 微积分第二基本定理（FTC 2）：定积分的计算 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
FTC 2 提供了利用原函数计算定积分精确值的方法，无需再计算无穷黎曼和的极限。该定理适用条件为：$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（即对区间 $[a,b]$ 内所有 $x$ 都满足 $F'(x) = f(x)$）。
int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
该计算的标准记号为 $\left. F(x) \right|_a^b$，明确表示'在上限 $b$ 处计算 $F$ 的值，减去 $F$ 在下限 $a$ 处的值'。计算定积分时可以完全省略积分常数 $+C$，因为它在 $F(b)$ 减 $F(a)$ 的过程中会抵消。FTC 2 仅当 $f$ 在整个积分区间上连续时才能使用；区间内的间断点（如垂直渐近线）会导致无法直接应用该定理。
Exam tip: 请务必显式写出计算式 $\left. F(x) \right|_a^b$，避免混淆上下限顺序。颠倒上下限会改变答案符号，这是一个可以避免的常见错误。
2. 微积分第一基本定理（FTC 1）：累积函数的导数 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
FTC 1 形式化证明了积分和微分的互逆关系，是AP微积分AB选择题中涉及累积函数（由积分定义的函数）的高频考点。下限为常数、上限为变量 $x$ 的基础形式为：
\frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) dt \right] = f(x)
如果上限是 $x$ 的函数 $u(x)$ 而非 $x$ 本身，我们需要应用链式法则得到一般形式。如果上下限都是 $x$ 的函数，我们可以在某个常数处拆分积分得到拓展法则。对于 $g(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt$，拓展法则为：
g'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)
Exam tip: 如果求导变量出现在下限，拆分积分后不要遗漏必要的负号。提交最终答案前，请再次检查下限项的符号。
3. 净变化定理：实际问题中的FTC应用 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
净变化定理是FTC 2在实际问题中的直接应用：我们对变化率积分即可得到区间内的总累积变化。该定理指出：量 $F(t)$ 从 $t=a$ 到 $t=b$ 的净变化等于其变化率 $f(t) = F'(t)$ 在该区间上的定积分：
\text{Net Change} = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) dt
该定理是AP微积分AB所有实际背景积分问题的基础，包括质点位移、种群变化、血液中的药物量，以及边际利润求总利润等。净变化会抵消正负变化（例如质点向左运动和向右运动抵消），这和总路程不同，总路程需要对变化率的绝对值积分。如果已知初始量 $F(a)$，要求 $t=b$ 处的最终量，整理公式可得：$F(b) = F(a) + \int_a^b f(t) dt$。
Exam tip: 题目要求某物理量的最终量时，定积分仅给出净变化，而非最终量。务必将净变化加到给定的初始量上才能得到正确答案。
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生记得FTC要求被积函数在上限处取值，但忘记当上是 $x$ 的函数时需要应用链式法则。
Why: 学生忘记FTC 2要求 $f$ 在整个积分区间上连续，而该函数在区间内 $x=0$ 处存在间断点。
Why: 学生混淆了计算顺序，尤其是题目中上下限颠倒书写时。
Why: 学生混淆了净变化和最终总数量。
Why: 学生习惯了下限为常数的情况，忘记当求导变量在下限时必须保留负号。