用黎曼和近似面积 — AP 微积分 AB

1. 核心概念：等宽矩形黎曼和 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

黎曼和通过将区间$[a,b]$分割为更小的切片、计算每个切片的面积再求和，来近似$y=f(x)$与x轴之间的净面积。它是定积分的概念基础，而定积分就是切片数量趋近于无穷时黎曼和的极限。对于等宽切片，每个子区间的宽度为：

\Delta x = \frac{b-a}{n}

其中$n$是子区间的数量，$a$是整个区间的左端点，$b$是整个区间的右端点。矩形黎曼和共有三种常见类型，区别在于使用子区间上哪一点作为矩形的高度：

• **左黎曼和 ($L_n$)**: 使用每个子区间的左端点：$L_n = \Delta x \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$
• **右黎曼和 ($R_n$)**: 使用每个子区间的右端点：$R_n = \Delta x \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$
• **中点黎曼和 ($M_n$)**: 使用每个子区间的中点：$M_n = \Delta x \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{x_{i-1} + x_i}{2}\right)$

Exam tip: 如果题目没有指定小数位数，请将答案保留为整数或最简分数；AP考试除非明确说明，否则不要求四舍五入。

2. 梯形法则 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

梯形法则用梯形代替矩形，将每个子区间的端点用直线连接，对光滑函数可以得到更准确的近似结果。单个$[x_{i-1}, x_i]$上梯形的面积为$\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \times \Delta x$。对所有等宽子区间求和后可化简为如下公式：

T_n = \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]

对于等分子区间，有一个实用的省时恒等式：梯形和恰好等于左黎曼和与右黎曼和的平均值：

T_n = \frac{L_n + R_n}{2}

Exam tip: 如果选择题已经给出某个区间的左黎曼和与右黎曼和，你可以利用平均值恒等式一步得到梯形和，不需要重新计算所有值。

3. 不等分子区间与表格情境问题 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

AP自由解答题（FRQ）常见的出题形式是给出非等间隔点的函数值表格，通常是速度、增长率这类实际速率，要求近似面积。对于不等分子区间，$\Delta x$不是常数，因此等宽的简化公式不适用。你需要单独计算每个子区间的宽度，分别计算每个切片的面积，再求和：

• **矩形法**：切片面积 = $f(\text{所选端点}) \times \text{切片宽度}$
• **梯形法**：切片面积 = $\frac{f(\text{左端点}) + f(\text{右端点})}{2} \times \text{切片宽度}$

Exam tip: 开始计算前一定要先列出每个子区间的宽度；不要仅仅因为题目要求梯形和就默认区间是等宽的。

4. 高估与低估近似规则 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

AP题目经常要求你不计算完整的和，就能判断近似结果比精确面积大还是小。规则取决于和的类型和函数的性质，且仅适用于函数在整个区间上单调（左/右黎曼和）或凹凸性恒定（梯形和）的情况：

• **左/右矩形黎曼和**: 如果$f$是增函数（$f'(x) > 0$）：左和=低估，右和=高估。如果$f$是减函数（$f'(x) < 0$）：左和=高估，右和=低估。
• **梯形和**: 如果$f$是凹函数（上凸，$f''(x) > 0$）：梯形和=高估。如果$f$是凸函数（下凹，$f''(x) < 0$）：梯形和=低估。