原函数与不定积分（基本法则） — AP 微积分 AB
1. 原函数、不定积分与积分常数 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
由于任意常数的导数都为零，因此若$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则对任意实常数$C$，$F(x) + C$也是$f(x)$的原函数。记号中的微分$dx$明确标识了积分变量。若给出初始条件（原函数必须经过的点），你就可以解出$C$的具体值，得到特定原函数。
Exam tip: 一定要通过求导来检验你的原函数！如果你的结果的导数等于原被积函数，就说明你的计算是正确的。这个方法可以找出考试中90%的常见符号错误和计算错误。
2. 代数函数的基本积分法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
代数积分法则是求导法则反过来直接得到的。常数倍法则为：对任意常数$k$，$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$，和差法则为：$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$。最常用的法则是积分的幂法则。
Exam tip: 应用幂法则前一定要将根号和倒数改写为幂次形式。跳过这一步是AP考试中幂法则计算指数错误的最常见原因。
3. 基本超越函数的原函数（指数函数与三角函数） ★★★☆☆ ⏱ 4 min
所有非代数函数的积分法则都是你已经学过的求导法则的逆运算。AP微积分AB中需要掌握的核心结论如下：
- 指数函数：$\int e^x dx = e^x + C$；对$a>0, a \neq 1$，有$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
- 倒数（$n=-1$的例外情况）：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$。绝对值覆盖所有非零$x$。
- 三角函数：$\int \cos x dx = \sin x + C$，$\int \sin x dx = -\cos x + C$，$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$，$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
Exam tip: 如果你不确定三角函数原函数的符号，花10秒对结果求导来确认是否与原被积函数一致即可。自由问答题阅卷人会对错误符号扣分，因此这个检查非常值得花时间。
4. AP风格概念检测练习 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生盲目应用幂法则，忘记了$n=-1$是例外情况。
Why: 学生混淆了被积函数和它的原函数。
Why: 学生记住了法则，但忘记$\frac{1}{x}$的定义域包含负$x$。
Why: 学生在学习换元法之前直接对复合函数应用基本幂法则。
Why: 学生认为每个项都需要自己的常数。
Why: 学生混淆了多项式的幂法则和指数函数的积分法则。