绘制f、f'、f''的图像 — AP 微积分 AB
1. 关联f和f'的关键特征 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
一阶导数$f'$给出了$f$在任意点$x$处的切线斜率，因此$f$的每一个关键性质都对应着$f'$的一个图像特征，反之亦然。该考点考察你对导数意义的概念理解，而不只是计算能力。
- 当$f$在某个区间上单调递增时，所有切线斜率都为正，因此$f'(x) > 0$，$f'$的图像位于$x$轴上方。
- 当$f$在某个区间上单调递减时，所有切线斜率都为负，因此$f'(x) < 0$，$f'$的图像位于$x$轴下方。
- 对于可导函数$f$，$f$的局部极值点出现在$f'$穿过$x$轴的位置：$f$的局部极大值对应$f'$由正变负，$f$的局部极小值对应$f'$由负变正。
- 对于多项式，求导会使次数降低1次：$n$次多项式$f$的导数$f'$是$n-1$次多项式，这是选择题匹配题中可以快速排错的技巧。
2. 将f和f'的特征与f''关联起来 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
二阶导数$f''$是$f'$的导数，因此$f$和$f'$之间的关系同样适用于$f'$和$f''$。此外，$f''$反映了原函数$f$的凹凸性，这是一个关键的图像性质。
- 当$f$为上凹时，图像向上弯曲，$f$的斜率递增，因此$f''(x) > 0$。
- 当$f$为下凹时，图像向下弯曲，$f$的斜率递减，因此$f''(x) < 0$。
- 拐点出现在$f$改变凹凸性的位置，这意味着$f''$在该点处变号。对于二阶可导的$f$，这也意味着$f'$在该横坐标处有一个局部极值。
3. 根据已知的f'图像绘制f的图像 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
AP微积分AB非常常见的一道自由作答题会给出$f'$的图像（通常是分段线性的，方便分析）和初始条件$f(a) = k$，然后要求你绘制$f$或者识别它的关键特征。可以遵循以下步骤：
- 将$x$轴按$f'$的$x$截距分割成区间（这些截距就是$f$的临界点）。
- 找出每个区间上$f'$的符号，将临界点分类为局部极大值、局部极小值或非极值。
- 再按$f'$的局部极值进一步分割区间（这些极值就是$f$的拐点），然后找出每个区间上$f$的凹凸性。
- 利用微积分基本定理计算$f$关键点的$y$值：$f(b) = f(a) + \int_a^b f'(x) dx$，当$f'$是分段线性时，积分可以简化为几何图形的面积相加。
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了f的临界点（即f'的x截距）和f的拐点（即f''的x截距或f'的局部极值）。
Why: 拐点要求f''变号，不只是值为零。例如，$f(x) = x^4$有$f''(0) = 0$但没有变号，因此没有拐点。
Why: 考试的时间压力导致反向推导时关系颠倒。
Why: 这源于时间压力下混淆了临界点和拐点。
Why: 学生忘记求导会使多项式的次数降低1。