相对极值的一阶导数测试 — AP 微积分 AB
1. 什么是相对极值的一阶导数测试？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
一阶导数测试是AP微积分AB第5单元的核心方法，该单元占你考试总分的15–18%。它会在选择题和自由作答题中都被考察，通常和曲线绘图、优化问题结合考察。该测试利用临界点附近一阶导数的符号变化来对该点分类。
2. 临界点和符号区间的建立 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
应用一阶导数测试前，你必须完成两个预备步骤：找出所有临界点，然后将定义域按临界点分割为区间，测试$f'(x)$的符号。费马定理确认所有相对极值都出现在临界点，因此不需要测试其他位置。
Exam tip: 建立区间前，一定要将临界点从小到大排序。跳过这一步通常会导致测试错误区间，在AP考试中错误分类极值。
3. 一阶导数测试分类法则 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
分类法则直接来自导数符号和函数单调性的关系：一阶导数为正说明函数递增，一阶导数为负说明函数递减。从左到右经过$x=c$时的符号变化模式决定了分类结果：
- 如果$f'(x)$变化从**正到负**：$f(c)$是一个**相对极大值**
- 如果$f'(x)$变化从**负到正**：$f(c)$是一个**相对极小值**
- 如果$f'(x)$符号不变：则$x=c$处**不存在相对极值**
- 这些法则适用于所有临界点，无论$f'(c)=0$还是$f'(c)$不存在
Exam tip: 如果题目要求找出极值点或极值，一定要计算出完整的函数值。AP考试中，如果题目要求完整极值，你只给出x坐标会被扣分。
4. 对导数不存在的临界点分类 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
只要原函数$f(x)$在临界点处有定义，一阶导数测试对导数不存在的临界点（角点、尖点、垂直切线）完全适用。一个常见错误是遗漏这类临界点，这也是AP考试经常考察的点。
Exam tip: 千万不要忘记把导数不存在的临界点加入你的列表。AP出题人经常设置这类点来考察你是否记住所有类型的临界点。
5. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了'极值可能存在的位置'和'一定是极值'，因为入门例子中几乎每个驻点都是极值。
Why: 学生只找$f'(x)=0$的解，忽略了导数分母的零点。
Why: 学生从左到右经过临界点时搞反了方向。
Why: 学生赶时间，把区间端点选作测试点，得到$f'(c)=0$或无定义，无法得到有效符号。
Why: 学生忘记需要点两侧都有导数值才能检查符号变化。
Why: 学生对无理测试值做近似，把小负数取整为零或正数。