极值定理、全局与局部极值、临界点 — AP 微积分 AB
1. 极值定理 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
极值定理（EVT）是一个存在性定理：它告诉你什么时候一定存在全局最大值和全局最小值，但不告诉你如何找到它们。
直观理解：如果你不抬笔从 $(a, f(a))$ 到 $(b, f(b))$ 画一条连续曲线，这条曲线一定有最高点和最低点。只要任意一个条件不满足，这个保证就不成立：开区间会让你逼近极值但永远达不到，而间断（比如垂直渐近线）会让函数无界增长。
Exam tip: 为了拿到全部论证分数，请务必同时说明极值定理的两个条件
2. 临界点 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
根据费马定理，若 $f(x)$ 在内点 $c$ 处存在局部极值，则 $c$ 必定是临界点。反之不成立：并非所有临界点都是局部极值。
3. 局部极值与全局（绝对）极值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
极值根据其作为最大值/最小值的区间范围分类，AP考试常考的核心区别如下：
- **全局（绝对）极值**：区间$I$上的全局最大值是满足对于区间$I$中*所有*$x$都有 $f(c) \geq f(x)$ 的值$f(c)$，全局最小值则满足相反的不等式。全局极值可以出现在临界点*或*端点处。每个区间只能有一个全局最大值和一个全局最小值，不过同一个最值可以出现在多个$x$位置。
- **局部（相对）极值**：$c$处的局部最大值是满足对于$c$附近某个小开区间内所有$x$都有 $f(c) \geq f(x)$ 的值$f(c)$。局部极值仅出现在内点处，因此端点永远不是局部极值。任意出现在内点的全局极值同时也一定是局部极值。
4. AP风格例题练习 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生记得极值定理要求连续，但忘记区间还必须是闭且有界的
Why: 许多入门教材简化了定义，但AP CED规定临界点只能是内点
Why: 学生只检查了导数，就忘记确认该点在原函数定义域内
Why: 学生逆用费马定理，错误认为所有临界点都一定是极值。例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处的临界点就不是极值
Why: 学生只检查临界点，就假设全局极值出现在内部
Why: 学生混淆了极值的位置（$x$ 值）和极值的值（$y$ 值）